問題ＰＤＦ
（１）
（３√２＋２√５）2（√20－√18）2 を計算せよ。
（２）
（ａ＋２ｂ＋ｃ）（ａ－２ｂ＋ｃ）－（ａ＋２ｂ－ｃ）（ａ－２ｂ－ｃ） を展開せよ。
（３）
ｐを素数とする。ｐ２の正の約数の和が31となるとき、ｐの値を求めよ。
（４）
１辺の長さが３ｃｍの正方形ＡＢＣＤにおいて、辺ＣＤ上にＤＥの長さが１ｃｍとなるように点Ｅをとる。
線分ＡＥと線分ＢＤの交点をＦとするとき、△ＦＢＥの面積を求めよ。
（５）
図のように半径√３ｃｍの球Ｏに立方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨが内接している。
球Ｏ’は球Ｏに内接し、面ＡＢＣＤとは正方形ＡＢＣＤの対角線の交点において接している。
球Ｏ’の半径を求めよ。
（６）
４月から３月までの１年間に、ある生徒が図書室から借りた本の冊数を調べた。
月ごとに借りた本の冊数の範囲は８冊、月ごとに借りた本の冊数の中央値は8.5冊であった。
このとき、次の（ ① ）（ ② ）にあてはまる数を書け。
ａがとりうる値の最小値は（ ① ）で、最大値は（ ② ）である。
＠解説＠
（１）
（３√２＋２√５）2（√20－√18）2
＝（√18＋√20）2（√20－√18）2 ←ａ２×ｂ２＝（ａｂ）２
＝｛（√20＋√18）（√20－√18）｝2
＝（20－18）2
＝４
（２）
（ａ＋２ｂ＋ｃ）（ａ－２ｂ＋ｃ）－（ａ＋２ｂ－ｃ）（ａ－２ｂ－ｃ） ←Ｘ＝ａ+ｃ、Ｙ＝ａ－ｃ
＝（Ｘ＋２ｂ）（Ｘ－２ｂ）－（Ｙ＋２ｂ）（Ｙ－２ｂ）
＝Ｘ２－４ｂ２－Ｙ２＋４ｂ２
＝（Ｘ＋Ｙ）（Ｘ－Ｙ）
＝（ａ＋ｃ＋ａ－ｃ）（ａ＋ｃ－ａ＋ｃ）
＝２ａ・２ｃ
＝４ａｃ
（３）
６２＞31だからｐは５以下の素数なので、ｐ＝５と見当がつく。
数式で解くには、ｐが素数＝ｐの約数は（１、ｐ）→ｐ２の約数は（１、ｐ、ｐ２）の３つだけ。
１＋ｐ＋ｐ２＝31
ｐ２＋ｐ－30
＝（ｐ－５）（ｐ＋６）＝０
ｐ＞０より、ｐ＝５
（４）
△ＦＢＥは内部になる。
△ＡＢＥが正方形の半分である点に着目すると、
ＡＦ：ＦＥの比さえわかれば、△ＦＢＥの面積が求まる。
△ＡＢＦ∽△ＥＤＦより、ＡＦ：ＦＥ＝③：①
△ＦＢＥは、３×３÷２×①/④＝９/８ｃｍ2
（５）
小球Ｏ’はＡＣの中点Ｉで接する（真上から見ると正方形ＡＢＣＤの中心）
ＩＯ＝１とすると、立方体の１辺は２
△ＡＢＣは直角二等辺→１：１：√２より、ＡＣ＝２√２
ＡＩ＝√２
△ＡＩＯで三平方→大球Ｏの半径ＡＯ＝√３＝√３ｃｍ
ＩＯ＝１＝１ｃｍ
△ＡＩＯがあらわれる面ＡＥＧＣで切り取る。
小球Ｏ’の直径は√３－１ｃｍだから、半径は（√３－１）/２ｃｍ
（６）
データを昇順になおす。
【４・５・５・６・７・７・10・10・11・11・12】
12個の中央値8.5冊は６番目と７番目の平均。
（６番目、７番目）の候補は（８、９）（７、10）（６、11）…
（８、９）はいずれもないから×。７と10が２個ずつあるので（７、10）しかない。
下位６個にａを挿入すると、６番目と７番目が７冊→中央値７冊になるので不適。
７番目は10冊確定だから、ａは10以上。
範囲８より最大値は４＋８＝12冊なので、ａの最大値も12
①…10、②…12
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