2025年度　都立立川高校過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
下の図１で、３点Ａ、Ｂ、Ｃは１つの円周上にあり、図 1 のように、反時計回りに、
Ａ、Ｂ、Ｃの順に並んでいる。点Ｐは、３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の周上にあり、４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｐは、
互いに一致しない。次の各問に答えよ。

〔問１〕
図１において、点Ｃを含まない弧ＡＢの長さが点Ａを含まない弧ＢＣの長さの 6 倍であり、
点Ｂを含まない弧ＡＣの長さが点Ａを含まない弧ＢＣの長さの８倍で、
点Ｐが点Ｂを含まない弧ＡＣ上にあるとき、点Ａと点Ｐ、点Ｃと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を考える。
∠ＡＰＣの大きさは何度か。

〔問２〕
下の図２は、図１において、点Ａと点Ｂ、点Ｂと点Ｃをそれぞれ結んでできる∠ＡＢＣが
鈍角のとき、点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐ、点Ｃと点Ｐをそれぞれ結び、
点Ａにおける３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の接線と点Ｃにおける３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る
円の接線の交点をＱとし、点Ｐと点Ｑを結んだ場合を表している。
線分ＢＰが∠ＡＢＣの二等分線と重なるとき、△ＡＰＱ≡△ＣＰＱであることを証明せよ。

〔問３〕
右の図３は、図１において、３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の中心をＯとし、
点Ａと点Ｂ、点Ｂと点Ｃをそれぞれ結び、線分ＢＣが円Ｏの直径となった場合を表している。
円Ｏの半径が１ｃｍ、∠ＡＢＣ＝60°、点Ｐが線分ＢＣに関して点Ａと対称な点であるとき、
円Ｏと３点Ｏ、Ａ、Ｐを通る円が重なる部分の面積は何ｃｍ²か。

〔問１〕

問題文にしたがって、弧の長さの比を正確に記す。

四角形ＡＢＣＰは円に内接する四角形。
対角の和は180°
また、１つの円で円周角の大きさは弧の長さに比例するから、
∠ＡＢＣ＋∠ＡＰＣ＝⑧＋⑦＝⑮＝180°
∠ＡＰＣ＝180×⑦/⑮＝

〔問２〕
△ＡＰＱ≡△ＣＰＱの証明。

共通辺ＰＱ
Ａ・Ｃは円の接点。
円外の点Ｑから引いた接線の長さは等しいから、ＡＱ＝ＣＱ
仮定より、∠ＡＢＰ＝∠ＣＢＰ
１つの円で等しい円周角に対する弧の長さは等しいから、弧ＡＰ＝弧ＣＰ
弦ＡＰ＝弦ＣＰ
３辺が等しいので合同。
＠＠＠
公式解答を貼っておきます。

公式解答ではＡＣを結び、円周角で△ＰＡＣが二等辺であると指摘する。

〔問３〕

半径よりＯＡ＝ＯＢ→△ＯＡＢは二等辺→底角60°より正三角形。
ＰはＢＣについてＡと対称なので、△ＯＰＢも正三角形。

ＢＡ＝ＢＯ＝ＢＰより、３点Ａ、Ｏ、Ｐを通る円の中心はＢである。
求積すべき図形は半径１ｃｍ中心角120°の扇形２つから、
重複する１辺１ｃｍの正三角形２つを引けばいい。
１×１×π×１/３×２－√３/４×１²×２
＝２/３π－√３/２ｃｍ²