2024年度　都立戸山高校過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
下の図１で、点Ｏは、ＡＢ＞ＡＣ、ＢＣ＝10ｃｍである△ＡＢＣの３つの頂点を通る円の中心で、
辺ＢＣ上にある。次の各問に答えよ。

〔問１〕
ＡＢ：ＡＣ＝３：１のとき、△ＡＢＣの面積は何ｃｍ²か。

〔問２〕
下の図２は、図１において、頂点Ｃを含まない弧ＡＢ上にあり∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢとなる点をＤ、点Ｄを通り辺ＡＣに平行な直線と円Ｏとの交点のうち点Ｄと異なる点をＥ、2 点Ａ、Ｂを通る直線と２点Ｃ、Ｅを通る直線をそれぞれ引き、交点をＦ、線分ＤＥと辺ＡＢ、辺ＢＣとの交点をそれぞれＧ、Ｈとした場合を表している。

次の（１）、（２）に答えよ。
（１）
△ＡＢＣ≡△ＡＦＣであることを証明せよ。

（２）
ＡＣ＝６ｃｍのとき、線分ＢＨの長さは何ｃｍか。

＠解説＠
〔問１〕

半円の弧に対する円周角より、∠ＢＡＣ＝90°
ＡＣ＝①、ＡＢ＝③
△ＡＢＣの辺の比で三平方→ＢＣ＝〇√10
ＡＣ＝10×①/〇√10＝√10ｃｍ、ＡＢ＝３√10ｃｍ
△ＡＢＣの面積は、√10×３√10÷２＝15ｃｍ²

〔問２〕（１）

共通辺ＡＣ
半円の弧に対する円周角より、∠ＣＡＢ＝∠ＣＡＦ＝90°
もう１つの等角が欲しい。
外側にある∠ＡＦＣは手が出しにくいので、∠ＡＣＦに狙いを定める。
ＡＣ//ＤＥより、∠ＡＣＦ＝∠ＤＥＣ（▲）
∠ＤＥＣをどこかにつなげたい。

ＢＤに補助線をいれる。
弧ＤＣに対する円周角より、∠ＤＢＣ＝▲
ここで意味深な∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢを活用する。

△ＡＢＣと△ＤＣＢにおいて、仮定の∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ（×）
共通辺ＢＣ、半円の弧に対する円周角→∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝90°を合わせると、
斜辺と１鋭角が等しい直角三角形だから、△ＡＢＣ≡△ＤＣＢ
対応する角で、∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＢ（▲）だから、∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＢ
１辺と両端角が等しいので、△ＡＢＣ≡△ＡＦＣが導ける。

＠＠
公式解答を貼り付けておきます。

等角の指摘について補足します。

弧ＡＤに対する円周角で×を∠ＡＢＤに移し、
●×を合わせて弧ＤＣ→同位角で移動させています。

（２）

ＡＣ＝６、ＢＣ＝10より、△ＡＢＣは辺の比が３：４：５の直角三角形。

先ほどのＤＢを使う。
△ＡＢＣ≡△ＤＣＢよりＡＣ＝ＤＢ＝６ｃｍ、∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ（▲）
同位角で∠ＤＨＢ＝▲
△ＤＢＨは二等辺三角形である。

Ｄから垂線をおろし、足をＪとする。
△ＤＢＪの内角は90°と▲だから、２角相等で△ＡＢＣと相似→辺の比は３：４：５！
Ｊは二等辺の底辺ＢＨの中点なので、ＤＢ＝⑤とすると、ＢＪ＝ＪＨ＝③
ＢＨの長さは、６×⑥/⑤＝36/５ｃｍ