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2024年度 都立戸山高校過去問【数学】大問3解説

問題PDF
下の図1で、点Oは、AB>AC、BC=10cmである
△ABCの3つの頂点を通る円の中心で、
辺BC上にある。
次の各問に答えよ。

〔問1〕
AB:AC=3:1のとき、△ABCの面積は何cm2か。

〔問2〕
下の図2は、図1において、頂点Cを含まない弧AB上にあり∠ABC=∠DCBとなる点をD、点Dを通り辺ACに平行な直線と円Oとの交点のうち点Dと異なる点をE、2 点A、Bを通る直線と2点C、Eを通る直線をそれぞれ引き、交点をF、線分DEと辺AB、辺BCとの交点をそれぞれG、Hとした場合を表している。

次の(1)、(2)に答えよ。
(1)
△ABC≡△AFCであることを証明せよ。

(2)
AC=6cmのとき、線分BHの長さは何cmか。


@解説@
〔問1〕

半円の弧に対する円周角より、∠BAC=90°
AC=①、AB=③
△ABCの辺の比で三平方→BC=〇√10
AC=10×①/〇√10=√10cm、AB=3√10cm
△ABCの面積は、√10×3√10÷2=15cm2

〔問2〕(1)

共通辺AC
半円の弧に対する円周角より、∠CAB=∠CAF=90°
もう1つの等角が欲しい。
外側にある∠AFCは手が出しにくいので、∠ACFに狙いを定める。
AC//DEより、∠ACF=∠DEC(

∠DECをどこかにつなげたい。

BDに補助線をいれる
弧DCに対する円周角より、∠DBC=
ここで意味深な∠ABC=∠DCBを活用する。

△ABCと△DCBにおいて、仮定の∠ABC=∠DCB(×
共通辺BC、半円の弧に対する円周角→∠BAC=∠BDC=90°を合わせると、
斜辺と1鋭角が等しい直角三角形だから、△ABC≡△DCB
対応する角で、∠DBC=∠ACB()だから、∠ACF=∠ACB
1辺と両端角が等しいので、△ABC≡△AFCが導ける。

@@
公式解答を貼り付けておきます。

等角の指摘について補足します。

弧ADに対する円周角で×を∠ABDに移し、
●×を合わせて弧DC→同位角で移動させています。

(2)

AC=6、BC=10より、△ABCは辺の比が3:4:5の直角三角形

先ほどのDBを使う
△ABC≡△DCBよりAC=DB=6cm、∠ACB=∠DBC(
同位角で∠DHB=
△DBHは二等辺三角形である

Dから垂線をおろし、足をJとする。
△DBJの内角は90°とだから、2角相等で△ABCと相似→辺の比は3:4:5
Jは二等辺の底辺BHの中点なので、DB=⑤とすると、BJ=JH=③
BHの長さは、6×⑥/⑤=36/5cm
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