問題ＰＤＦ
下の図１で、点Ｏは、ＡＢ＞ＡＣ、ＢＣ＝10ｃｍである△ＡＢＣの３つの頂点を通る円の中心で、
辺ＢＣ上にある。次の各問に答えよ。
〔問１〕
ＡＢ：ＡＣ＝３：１のとき、△ＡＢＣの面積は何ｃｍ2か。
〔問２〕
下の図２は、図１において、頂点Ｃを含まない弧ＡＢ上にあり∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢとなる点をＤ、点Ｄを通り辺ＡＣに平行な直線と円Ｏとの交点のうち点Ｄと異なる点をＥ、2 点Ａ、Ｂを通る直線と２点Ｃ、Ｅを通る直線をそれぞれ引き、交点をＦ、線分ＤＥと辺ＡＢ、辺ＢＣとの交点をそれぞれＧ、Ｈとした場合を表している。
次の（１）、（２）に答えよ。
（１）
△ＡＢＣ≡△ＡＦＣであることを証明せよ。
（２）
ＡＣ＝６ｃｍのとき、線分ＢＨの長さは何ｃｍか。
＠解説＠
〔問１〕
半円の弧に対する円周角より、∠ＢＡＣ＝90°
ＡＣ＝①、ＡＢ＝③
△ＡＢＣの辺の比で三平方→ＢＣ＝〇√10
ＡＣ＝10×①/〇√10＝√10ｃｍ、ＡＢ＝３√10ｃｍ
△ＡＢＣの面積は、√10×３√10÷２＝15ｃｍ2
〔問２〕（１）
共通辺ＡＣ
半円の弧に対する円周角より、∠ＣＡＢ＝∠ＣＡＦ＝90°
もう１つの等角が欲しい。
外側にある∠ＡＦＣは手が出しにくいので、∠ＡＣＦに狙いを定める。
ＡＣ//ＤＥより、∠ＡＣＦ＝∠ＤＥＣ（▲）
∠ＤＥＣをどこかにつなげたい。
ＢＤに補助線をいれる。
弧ＤＣに対する円周角より、∠ＤＢＣ＝▲
ここで意味深な∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢを活用する。
△ＡＢＣと△ＤＣＢにおいて、仮定の∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ（×）
共通辺ＢＣ、半円の弧に対する円周角→∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝90°を合わせると、
斜辺と１鋭角が等しい直角三角形だから、△ＡＢＣ≡△ＤＣＢ
対応する角で、∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＢ（▲）だから、∠ＡＣＦ＝∠ＡＣＢ
１辺と両端角が等しいので、△ＡＢＣ≡△ＡＦＣが導ける。
＠＠
公式解答を貼り付けておきます。
等角の指摘について補足します。
弧ＡＤに対する円周角で×を∠ＡＢＤに移し、
●×を合わせて弧ＤＣ→同位角で移動させています。
（２）
ＡＣ＝６、ＢＣ＝10より、△ＡＢＣは辺の比が３：４：５の直角三角形。
先ほどのＤＢを使う。
△ＡＢＣ≡△ＤＣＢよりＡＣ＝ＤＢ＝６ｃｍ、∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ（▲）
同位角で∠ＤＨＢ＝▲
△ＤＢＨは二等辺三角形である。
Ｄから垂線をおろし、足をＪとする。
△ＤＢＪの内角は90°と▲だから、２角相等で△ＡＢＣと相似→辺の比は３：４：５！
Ｊは二等辺の底辺ＢＨの中点なので、ＤＢ＝⑤とすると、ＢＪ＝ＪＨ＝③
ＢＨの長さは、６×⑥/⑤＝36/５ｃｍ
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