平均53.2点(前年比;-10.4点)
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大問1(小問集合)
(1)
5+(-12)
=5-12
=-7
(2)
7-8×(-2)
=7+16
=23
(3)
2/3ab÷(-4b)×9a
=-3/2a2
(4)
(√3-√5)2
=3-2√15+5
=8-2√15
(5)
x+5y=11 …①
3x+2y=-6 …②
①×3-②をすると、13y=39
y=3
①に代入、x+15=11
x=-4
x=-4、y=3
(6)
x(x+2)=48
x2+2x-48
=(x+8)(x-6)=0
x=-8、6
(7)
y=x-5にx=-2を代入→A(-2、-7)
これをy=ax2に代入する。
-7=4a
a=-7/4
(8)
3枚のうち1枚が表になる出方→3通り
全体は23=8通りで、確率は3/8。
(9)
V:W
=3×3×π×4÷3:4×4×π×3÷3
=3:4
(10)
平行四辺形の対角から、∠A=∠C
折り返しで∠C=∠Eだから、∠A=∠E
2点A、Eは直線BDについて同じ側にあって、∠A=∠Eだから、
円周角の定理の逆より4点A、B、D、Eは一つの円周上にある。
大問2(データの活用)
(1)
全数調査は調査対象すべてを調べ上げる。
標本調査は母集団のなかから標本を無作為に抽出して、母集団の様子を推し量る。
理由が選択肢に述べられているので選びやすい。
健康診断と国勢調査が全数調査、品質管理と視聴率調査が標本調査。
イ・ウ
(2)①
標本の選び方。母集団である全校生徒300人から無作為(ランダム)に抽出する必要がある。
X:通し番号をつけるのは問題ない。乱数表は数字がランダムに羅列した表で、標本の抽出に役立つ。〇
実際は乱数を生成するアプリを使うのが楽です。
Y:1年生に限定している。×
Z:アンケートの回答者に限定している。×
ア
②
解答欄には式も書く。
抽出した50人のうち、数学好きは28人。
この割合は母集団300人も同じとみなし、数学好きは300×28/50=168人
(3)
範囲=最大値-最小値
四分位範囲=第3四分位数(Q3)-第1四分位数(Q1)
標本の大きさが大きいほど、範囲や四分位範囲が小さい傾向にある。
→サンプルが多いほど、バラツキが少なくなる。
イ
大問3(整数)
(1)
【仮定】6以上31以下の自然数mが6の倍数→【結論】m-1とm+1はどちらも素数。
この命題が成り立たない反例を挙げる。
カレンダーの6の倍数に印をつけると見つけやすい。
25は素数ではない。
(例)m=24のとき
(2)
(あ)偶数の素数は2しかない。2以外の偶数は2で割れるので素数ではない。
よって、2より大きい素数は奇数。
(い)n-1とn+1が素数=奇数→nは偶数。
ウ
(3)①
a÷3=b…1
a=3b+1→a-3b=1、a>3b
イ・エ
②
連続する3つの整数は、3で割った余りが【0→1→2…】でループする。
a÷3の余りが1
(a+1)÷3の余りは2
(a+2)÷3の余りは0
(4)
32以上のある自然数の前後が素数である。
前問を手掛かりにするが、問題文の後半にヒントがある。
素数は奇数。連続する3つの整数のうち、素数は3の倍数ではない。
→真ん中の数は2の倍数かつ3の倍数、すなわち、6の倍数。
32以上の6の倍数で、前後が素数であるものを書けばいい。
(例)42、60、72、102など
@余談@
(3・5)のように、差が2である素数のペアを双子素数という。
(3・5)以外の双子素数はあいだの数が6の倍数で、〔6の倍数-1〕と〔6の倍数+1〕のペアになる。
双子素数が無限個あるかどうかは、未だ証明されていない。
(1)の命題【6以上の自然数mが6の倍数→前後はいずれも素数】は反例があったが、
逆の【6以上の自然数mの前後がいずれも素数→mは6の倍数】は必ず成り立つ。
大問4(関数)
(1)
yがxの関数である→xの値を決めれば、それに伴ってyの値もただ1つに決まる関係。
ア:時間=道のり÷速さ。y=10000/x
イ:たとえば、周の長さが12cmの場合、縦+横=6cm
面積は1×5=5cm2、2×4=8cm2など1つに決まらない。×
ウ:y=1500-10x(y=-10x+1500)
エ:y=πx2
ア・ウ・エ
(2)①
文字盤と時間、脈拍の関係性を書き出してみる。
時間(x)が経つほど1分間の脈拍(y)は減っている。
時間が2倍になると脈拍は半分だから、反比例のグラフになる。
ウ
②
反比例の比例定数a=10×90=900
y=900/x
x=15のとき、最小値y=60
最大値y=100を代入して、x=9
(3)
文字盤3だけを見る。
先ほどの時計では【15秒で15回】→60秒で60回(x=15、y=60)
今度は【15秒で20回】だから1分間の脈拍は、20×60/15=80回
@余談@
計測時間を固定すると、計測する脈拍数と1分間あたりの脈拍数は比例にある。
15回の計測で1分間の脈拍は60回→20回の計測では、60×20/15=80回と求められる。
大問5(平面図形)
(1)
Aを中心として垂線hを時計回りに30°回転移動した直線nを作図する。
直線nは右上の線で、垂線hとなす角が30°である。
ℓとhの交点をOとする。
①AOを1辺とする正三角形をつくる。残りの頂点をPとする。
②∠PAOの二等分線で30°がつくれる。この二等分線が直線n。
(2)
△AHD≡△AIEの証明。
正三角形ADE、AHIの1辺からAD=AE、AH=AI
∠HAD=60-∠DAI=∠IAE
2辺とあいだの角が等しいので合同。
(3)
同様に、△AFH≡△AGIだから、
∠AHF=∠AIG=180-60=120°
@別解@
前の△AHD≡△AIEより、∠AHD=∠AIE=60°から導いてもよい。
(4)
正三角形ABCをつくる。この1辺の長さを求めるが、
わかっているのが6cmと3cmしかない。
↑邪魔な正三角形を削除した。
直線ℓに接する△AHIは使えるので残す。
Aから垂線ひいて足をJとすると、JI=6×1/√3=2√3cm
情報が足りないので、AJとICを延長した交点をLとし、ALを1辺とする正三角形AKLを作る。
Kは直線ℓ上にあるので、KJ⊥ALからJはALの中点である。
AJ=JL=6cm
JLと直線mの交点をMとする。
JM=ML=3cm
△JIL∽△MCLより、MC=2√3÷2=√3cm
△ACMで三平方→AC=2√21cm
大問1
なるべく点を積み重ねておきたい。
(7)B座標は不要だった。
(10)説明も要求された。円周角の定理の逆の言い回しをきちんと書けるようにしたい。
大問2
判断しやすい設問が多い。時間をかけたくない。
大問3
(1)問題文のカレンダーを利用する。
(2)nの両隣りが奇数だから、nは偶数となる。
(3)典型題ではないが、難しくはないので取りたい。
(4)問題文のヒントがありがたい。
2017年埼玉(大問3)でも双子素数が出題されている。
大問4
(1)正答が3つもあった。
(2)①文字盤から調べたい数値の関係性を丁寧に調べる。
(3)前問のように反比例で解くと、比例定数a=900×20/15=1200になる。
1200÷15秒=80回
大問5
(1)作図の前にどういう直線になるか想像しよう。
(3)前問の合同(Aを中心として回転移動)を手掛かりにする。
(4)難しい。
BCを斜辺とする直角三角形は高さ3cmだが、横の長さが出ない。
正三角形を回転したら残りの2つの頂点は直線ℓと直線IC上にくる性質に着目し、
直線ℓと辺が垂直になるまで回転してみると、1辺の長さが12cmになる。
ACを斜辺とする直角三角形の高さは9cm。横の長さは相似で決まる。
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