2019年度 芝浦工業大学柏中学入試問題【算数】大問5解説

兄が、5種類の洋菓子(チョコケーキ、チーズケーキ、プリン、シュークリーム、クッキー)を1つずつ買ってきました。このうちいくつかを妹へあげ、5つの洋菓子を2人で分けることを考えます。兄は妹に何をあげれば、公平になるかを考え、2人で5つの洋菓子に以下のルールでおのおの点数をつけることにしました。

@ルール@
1:2人共、各自の基準でつける。
2:5つの合計点数が100点になるようにつける。

点数をつけた結果が下の表です。

この様に点数をつけると、5つの洋菓子はそれぞれ2人にとって違う価値になることもあることがわかります。例えば、チョコケーキは兄から見れば40点の価値があり、妹から見れば35点の価値があるということです。

(1)
妹が自分の基準でつけた点数で合計45点分の洋菓子をもらうとき、
残った兄の分の洋菓子の(兄の基準での)合計点数は最高何点ですか。

次に、兄と妹で分けた洋菓子の各自の合計点数が同じになる分け方が
公平な分け方であると考えます。

(2)
公平な分け方で、各自の合計点数が最も高くなる場合を考えます。
そのときの兄の合計点数は何点ですか。

(3)
兄は、まずチーズケーキを、次にクッキーを妹にあげました。続いてチョコケーキを切って、その一部を妹にあげ、残ったチョコケーキとプリン、シュークリームは自分の分として残しました。すると、公平に分けることができました。
このとき、兄はチョコケーキの何%を自分の分として残しましたか。ただし、例えばチョコケーキを2等分に切って分けたときは、この半分のチョコケーキは、兄には40点の50%にあたる20点の価値があり、妹には35点の50%にあたる17.5点の価値があると考えます。

(4)
5種類の洋菓子の分け方で、洋菓子は最大1つまで切って分けて良いものとして考えたとき、(3)の分け方が2人のおのおのの基準での合計点数が最も高くなる方法です。
①まずチーズケーキを妹にあげた理由として考えられることをあげなさい。
②クッキーに続いてチョコケーキを分けてあげた理由として、考えられることを挙げなさい。


@解説@
(1)
妹が選ぶべき45点の洋菓子を考える。

ちょうどチーズケーキが45点。。
兄の点数…40+15+10+5=70点
これが最高点になる。

兄と妹の点数を比較したとき、チーズケーキだけ妹の方が高い
クッキーは同点で、他3つは兄の方が点数を高く見積もっている。
兄が高く見積もった洋菓子を兄に振り分ければ、兄の点数は高くなる。

(2)
よほど食べたいのか、妹が高い点数をつけたチーズケーキを妹に渡す。
チョコケーキを妹に分けると妹の点数が80点になるので、チョコケーキは兄に分ける。
残りの3品で帳尻を合わせる。
兄…チョコケーキ40+プリン15=55点
妹…チーズケーキ45+シュークリーム5+クッキー
=55点
55点

(3)
答案では、解き方の説明も要求されている。
確定事項から計算していく。
妹…チーズケーキ45+クッキー5+チョコケーキの一部=50+チョコ一部
兄…プリン15+シュークリーム10+チョコ残り=25+チョコ残り
チョコケーキを除くと、妹が兄より25点高い。
ということは、チョコケーキで兄が妹より25点高くなればいい

しかし、この後がなかなか厄介(;`ω´)
兄が40点、妹が35点。
40×○%=35×(100-○)%+25
中1レベルの1次方程式を許すのであれば、これを解いて
80%。

方程式がダメなら、具体例をうまく使う。
2等分したとき、兄は20点、妹は17.5点が与えられる。
差は2.5点。この差を25点(兄>妹)に拡大する

1%あたりに直すと、兄は40÷100=2/5点、妹は35÷100=7/20点。
妹から兄に1%渡すと、妹が-7/20点、兄が+2/5点されるので、
両者の差が7/20+2/5=3/4点ずつ広がる。

妹→兄に1%変えると、差が3/4点増える
25-2.5=22.5点分の差は、22.5÷3/4=30%
50%ずつの状態から、妹から兄へ30%移す。
よって、兄は80%。

@余談@
差が25と整数なので、〔整数-整数〕しかないと思われる…。
分数-分数=整数の場合もあるが、〔29/7-15/7=14/7=2〕のように、
分母が同じでないと差が整数にならないような気がする・・。
異なる分母だと8/6-1/3=1のように、既約分数ではなくなるような?

整数-整数=25であれば、ターゲットは絞られる
妹は35点をつけているので、35を整数値となるように分けると1・5・7・35。
35は100%なので不適。
1/35は百分率に直すと循環小数となり、百分率での解答が難しい。
5/35=1/7も循環小数で同様。
すると、7/35=1/5=20%しかない。
妹が20%なので、兄は80%となる。

(4)
ラストに説明問題。シバカシ、けっこうややこしいの出すのね(;^ω^)
1個だけ切って良いとの条件がつくと、どうやら前問の分け方が最も高い点数になるらしい。

先にチーズケーキを妹にあげる理由。

各々の基準で最高点を目指すには、相手より高い点数をつけたものをその人に渡す
チーズケーキのみ、妹が兄より15点も高く点数をつけている
そこで、まず妹にチーズケーキをあげる。
それぞれの洋菓子に兄と妹がつけた点数差がポイントになる。


1個だけ切って良い洋菓子にチョコケーキを選んだ理由。
クッキーは同点だが、残る3つ(チョコケーキ・プリン・シュークリーム)は、
いずれも兄が妹より5点高い。
『相手よりも高い点数をつけたものをその人に渡す』が基本なので、
それぞれの兄:妹の点数の比に着目する。
〔チョコケーキ〕40:35=8:7
〔プリン〕15:10=3:2
〔シュークリーム〕10:5=2:1
妹のつけた得点を基準にして兄の得点をみてみよう。
シュークリームは2倍、プリンは3/2倍、チョコケーキは8/7倍。
つまり、シュークリーム>プリン>チョコケーキの順に兄が妹より高い点数をつけている
(ようは割合でみたとき、比重の大きい順から兄へ分ける)
シュークリームとプリンを優先的に兄へ振り分け、
残ったチョコケーキを「公平な分け方」になるように切る。
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様(*'ω'*)


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA