2021年度 芝浦工業大学柏中学過去問【算数】大問5解説

直径2cmのコインを、縦30cm、横45cmの長方形の箱に、
左側から順に詰めていきます。

(1)
図1のようにどの列にも同じ枚数を詰めていくとき、
箱にもっとも多く入るコインの枚数は何枚ですか(正答率83%、合否差16%)

(2)
図2のように、奇数列目のコインは(1)と同じ詰め方をし、
偶数列目の各コインは左の列の2枚のコインとぴったりくっつくように詰めていきます。

図3は図2の一部を拡大したものです。このとき(あ)は、何cmになりますか。
下の三角形の辺の長さを参考に答えてください(正答率19%、合否差13%)
 

(3)
(2)のように詰めていくとき、
箱にもっとも多く入るコインの枚数は何枚ですか(正答率2%、合否差2%)


@解説@
(1)
縦の枚数…30÷2=15枚
横の枚数…45÷2=22.5→22枚
15×22=330枚

(2)

円の問題は中心から半径を描いてみる。
3つの中心を結ぶと、3辺の長さがどれも〔半径1cm×2=2cm〕で正三角形

正三角形を真横で割ると、内角が30°-60°-90°の直角三角形が作れる。
(あ)=1+1.73+1=3.73cm

(3)

(1)より、1列目は15個。
2列目は1列目のあいだの数だけ埋まるので14個。
2列ごとを1セットで捉えると、1セット目の横の長さ(あ)は3.73cm。
2セット目以降は重複分があるので、3.73cmにならない点に注意
?の長さはいくつだろう?

円2個を横に並べると、長さは4cm。
1列目の円の右端を●、2列目の円において左端を、右端を、3列目の円の左端をとする。
右図のように並べると、が左に移動した長さは4-3.73=0.27cm
が左に移動した長さも0.27cm。
2列目の円をはさんで1列目と3列目は対称的な位置関係にあるので、
間の長さは~●間と同じ0.27cm。

1セット目(計29個)の横が3.73cmで、2セット目以降は3.73-0.27=3.46cm

(45-3.73)÷3.46=11…3.21
はじめの1セット目をあわせると、12セット+3.21cm。
最後の円は、直径2-0.27=1.73cmだから、あまりの3.21cmの中にはいる
奇数列なので15個追加。
29×12+15=363個

@別解@

円の中心で考えてみる。

円を隣に1個付け足すと、前の中心から右1.73cmに次の中心がくる
左右の1cmをあらかじめ引いて計算すると、、
(45-2)÷1.73=24…1.48
1.73が24ヶ所ある→円の中心のあいだの数が24個だから、円は25個ある
縦15個が13列、縦14個が12列だから、
15×13+14×12=363個
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