2019年度 サレジオ学院中学入試問題【算数】大問2解説

次の〔  〕にあてはまる数を答えなさい。
(1)
200、329、415をそれぞれ2以上の同じ整数〔 ア 〕で割ると、
余りはすべて同じ〔 イ 〕になります。

(2)
川上のA地点と川下のB地点を結ぶ船があり、上りにかかる時間が下りにかかる時間のちょうど2倍になるのは、船自体の速さが川の流れの速さの〔  〕倍のときです。
ただし、川の流れの速さも、船自体の速さも一定であるとします。

(3)
下図のような三角形ABCがあります。
点Pは毎秒2cmの速さでA→B→C→A、点Qは毎秒3cmの速さでB→C→A→Bの順に、それぞれ三角形ABCの辺上を1周だけ動きます。点Pと点Qが、それぞれ点A、点Bを同時に出発すると、〔  〕秒後に辺PQと辺BCが平行になります。

(4)
下図のように、同じ大きさの5つの正方形が重なることなく
半径が6cmの円の内側にくっついています。
このとき、斜線部分の面積は〔  〕cm2です。

(5)
〔図1〕のような直方体の形をした水そうの中に、深さが4cmとなるように水が入っています。〔図2〕のような三角柱の形をした物体を、〔図2〕の向きのまま水そうの底に沈めると、水面が2cm上昇します。このとき、水の体積は〔  〕cm3です。



@解説@
(1)
アで割ると、すべて余りがイになる。
【200-イ】、【329-イ】、【415-イ】は共通の公約数をもつ。
イの値がわからなくても、これらの数の差が公約数の倍数となる
(329-イ)-(200-イ)=129
(415-イ)-(329-イ)=86
129と86の公約数は1と43。
アは2桁の整数なので43となる。
200÷43=4…28
余りイは28。
ア…43、イ…28

(2)
流水算の基礎。
速さの比は時間の逆比なので、上りの速さ:下りの速さ=1:2
速さで線分図

上り=静水時-川の流れ、下り=静水時+川の流れ
川の流れ=①とおくと、静水時の船の速さ=③となる→3倍。

(3)
BC//PQとなる図を描いてみよう。

PとQの速さが2:3なので、進んだ距離も2:3となる。
△APQに注目!
平行線から2角が等しく、△ABC∽△APQ
△APQの辺の比は、10:8:6=5:4:3となる。

AQ=□2×3/4=□3/2
AC+CB=□3/2+□3=□9/2=16cm
AP=16×2/ 9/2=64/9cm

Pは毎秒2cm動くので、64/9÷2=32/9秒後

(4)
変形ですな(´ω`).。0
半径がわかっているので、円の中心から半径や直径を伸ばしてみる。

一辺両端角が等しい→合同の直角三角形が4箇所ある
これを中に収めると、対角線が円の直径(12cm)に相当する正方形になる。
12×12÷2=72cm2

(5)
三角柱を沈めたとき、三角柱が押しのけた水の体積は水深4cmまで。

三角柱の奥行きは5cm。
水に浸かる部分は、(4+8)×4÷2×5=120cm3

問題は、うえの2cmの部分が水位の上昇に影響する。
その体積は、(2+4
)×2÷2×5=30cm3
押しのけられた水の体積120cm3=水位が上昇した2cm分の水槽の体積-三角柱の一部30cm3
水位が上昇した2cm分の水槽の体積=120+30=150cm3
水槽2cmが150cm3
最初の水深は4cmなので、水の体積は300cm3

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