2019年度 海城中学過去問【算数】大問6解説

整数nについて、nのnを除く約数の和を〔n〕で表すことにします。
例えば、6の6を除く約数は1、2、3なので、〔6〕=1+2+3=6です。
また、〔1〕=0とします。

(1)
〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕、〔5〕、〔6〕、〔7〕、〔8〕、〔9〕、〔10〕の平均を求めなさい。

(2)
〔x〕=1となる整数xの中で、100に最も近い整数を求めなさい。

(3)
連続する整数のうち、小さい方をx、大きい方をyとして、〔x〕+〔y〕=yとなるような整数yを考えます。例えば、xとして7、yとして8があります。このような整数yの中で、100以上150以下の整数を1つ求めなさい。


@解説@
(1)
〔1〕=0
〔2〕=1
〔3〕=1
〔4〕=1、2
〔5〕=1
〔6〕=1、2、3
〔7〕=1
〔8〕=1、2、4
〔9〕=1、3
〔10〕=1、2、5
これらの総和÷10=3.2

(2)
前問の結果をみると、〔x〕=1は素数とわかる。
100に近い素数は97…ではなく、101。

(3)
時間内に解き切るには厳しい(;´Д`)
わざわざx=7、y=8の成功例が挙げられているので、
最初の切り口は
7と8の組合せから考える
〔7〕=1、
〔8〕=1、2、4、
確かに、和が8になる。。

ここから、連続する2つの整数は素数とその前後ではないか
素数は1となるので、前後の数字の約数の和が自身より1少なくなるのではないか
*〔8〕だったら1+2+4=7と、和が8より1少ない。

8で思いつく性質を考える。
2×2×2=8!!
2の累乗ではないかと推測する。

試しに、2×2=4をすると、
〔4〕=1、2、
1+2=3!!

2×2×2×2=16
〔16〕=1、2、4、8、16
1+2+4+8=15!!

よって、100以上150以下では2を7回かけた128となり、y=128
手前の127は素数なので、〔x〕+〔y〕=yが成立する。

@余談@
2の累乗の約数の和を書いていくと。。。
1=2→1+2=3=22-1
2=4→1+2+4=7=23-1
3=8→1+2+4+8=15=24-1
4=16→1+2+4+8+16=31=25-1
5=32→1+2+4+8+16+32=63=26-1
どうしてこうなるんでしょ(;´Д`)???

@約数の和に注目した整数論@
【完全数】
自身を除いた約数の和=自分
6の約数…1、2、3
1+2+3=6
【友愛数】
自身を除いた約数の和が、相手の数になる組合せ。
220の約数の和→289
289の約数の和→220
【婚約数】
1と自身を除いた約数の和が、相手の数になる組合せ。
48→、2、3、4、6、8、12、16、24、48→75
75→、3、5、15、25、75→48
【概完全数】
約数の和が2n-1に等しい数。
n=4のとき、
4の約数の和→1+2+4=7
→2×4-1=7

n=16のとき、
16の約数の和→1+2+4+8+16=31
→2×16-1=31
概完全数は今のところ2のベキ乗以外で確認されていない。
本問は概完全数をモチーフに、素数の約数が自身以外で1しかないことを利用している。

@メルセンヌ素数@
ちなみに、2-1(nは自然数)はメルセンヌ数というそうで、
n-1の値が素数であれば、必ずnは素数になります。
(本問では27-1=127で、127は素数。n=7も素数ですね)
このような素数をメルセンヌ素数といいます。
ちなみに、2019年現在、51番目の素数であり、かつ最大の素数は
82589933-1だそうです・・・|д゚)
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様。


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA