2019年度　海城中学過去問【算数】大問６解説

問題ＰＤＦ
整数ｎについて、ｎのｎを除く約数の和を〔ｎ〕で表すことにします。
例えば、６の６を除く約数は１、２、３なので、〔６〕＝１＋２＋３＝６です。
また、〔１〕＝０とします。

（１）
〔１〕、〔２〕、〔３〕、〔４〕、〔５〕、〔６〕、〔７〕、〔８〕、〔９〕、〔10〕の平均を求めなさい。

（２）
〔ｘ〕＝１となる整数ｘの中で、100に最も近い整数を求めなさい。

（３）
連続する整数のうち、小さい方をｘ、大きい方をｙとして、〔ｘ〕＋〔ｙ〕＝ｙとなるような整数ｙを考えます。例えば、ｘとして７、ｙとして８があります。このような整数ｙの中で、100以上150以下の整数を１つ求めなさい。

（２）
前問の結果をみると、〔ｘ〕＝１は素数とわかる。
100に近い素数は97…ではなく、101。

（３）
わざわざｘ＝７、ｙ＝８の成功例が挙げられているので、最初の切り口は７と８の組合せから考える。
〔７〕＝１、７
〔８〕＝１、２、４、８
確かに、和が８になる。。

ここから、連続する２つの整数は素数とその前後ではないか？
素数は１となるので、前後の数字の約数の和が自身より１少なくなるのではないか？と発想する。
＊〔８〕だったら１＋２＋４＝７と、和が８より１少ない。

８で思いつく性質を考える。
２×２×２＝８!
２のベキ乗ではないかと推測する。

試しに、２×２＝４をすると、
〔４〕＝１、２、４
１＋２＝３!

２×２×２×２＝16
〔16〕＝１、２、４、８、16
１＋２＋４＋８＝15！

よって、100以上150以下では２を７回かけた128となり、ｙ＝128
手前の127は素数なので、〔ｘ〕＋〔ｙ〕＝ｙが成立する。

＠余談＠
２の累乗の約数の和を書いていくと、
２¹＝２→１＋２＝３＝２²－１
２²＝４→１＋２＋４＝７＝２³－１
２³＝８→１＋２＋４＋８＝15＝２⁴－1
２⁴＝16→１＋２＋４＋８＋16＝31＝２⁵－１
２⁵＝32→１＋２＋４＋８＋16＋32＝63＝２⁶－１
どうしてこうなるんでしょ(;´Д｀)??

＠約数の和に注目した整数論＠
【完全数】
自身を除いた約数の和＝自分
６の約数…１、２、３、６
１＋２＋３＝６
【友愛数】
自身を除いた約数の和が、相手の数になる組合せ。
220の約数の和→289
289の約数の和→220
【婚約数】
１と自身を除いた約数の和が、相手の数になる組合せ。
48→１、２、３、４、６、８、12、16、24、48→75
75→１、３、５、15、25、75→48
【概完全数】
約数の和が２ｎ－１に等しい数。
ｎ＝４のとき、
４の約数の和→１＋２＋４＝７
→２×４－１＝７

ｎ＝16のとき、
16の約数の和→１＋２＋４＋８＋16＝31
→２×16－１＝31
概完全数は今のところ２のベキ乗以外で確認されていない。
本問は概完全数をモチーフに素数の約数が自身以外で１しかないことを利用している。

＠メルセンヌ素数＠
ちなみに、２^ｎ－１（ｎは自然数）はメルセンヌ数というそうで、
２ⁿ－１の値が素数であれば、必ずｎは素数になります。
（本問では２⁷－１＝127で、127は素数。ｎ＝７も素数ですね）
このような素数をメルセンヌ素数といいます。
2019年現在、51番目のメルセンヌ素数であり、かつ最大の素数は
２^82589933－１だそうです･･･|дﾟ)
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