2019年度　茨城県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均49.3点
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大問１（計算）

（１）
－７＋５＝－２

（２）
（－３）×４－（－６）×４
＝－１２＋２４＝１２

（３）
２/３÷（－８/３）＋１/２
＝－１/４＋１/２＝１/４

（４）
４（－ｘ＋３ｙ）－５（ｘ＋２ｙ）
＝－４ｘ＋１２ｙ－５ｘ－１０ｙ
＝－９ｘ＋２ｙ

（５）
１４√７＋√３×√２１
＝２√７＋３√７＝５√７

大問２（小問集合）

（１）
ｘ²＋５ｘ－３６
＝（ｘ＋９）（ｘ－４）

（２）
ｘ＝５を放り込んでａを求める。
３×５－４＝５－２ａ
２ａ＝－６
ａ＝－３

（３）
因数分解ができないので解の公式。
ｘ＝〔－３±√{３²－４・３・（－１）}〕/２・３
＝（－３±√２１）/６

（４）４＜√ｎ＜１０をみたす、ｎの個数を求める。
ｎに根号がついているので、２乗して外す。
４²＜√ｎ²＜１０²
１６＜ｎ＜１００
１６よりも大きく、１００よりも小さい整数の個数が正解。
換言すれば、１７～９９の整数。
９９－１７＋１＝８３個

（５）図形の点対称移動

回転の中心Ｏと結び、距離が等しくなるようにＢ’とＣ’を作成。
ＡＣ//Ｃ’Ａ’で、Ａ→Ｃが右に１、上に２なので、Ｃ’→Ａ’も同様。

大問３（小問集合２）

（１）角度

求める∠ＡＣＢをｘとおく。ｘを合同で上にあげて、錯角で下ろす。
すると、二等辺三角形が登場する。
∠ＡＤＦ＝６１°で、△ＡＤＦの外角定理から、
∠ＤＦＣ（二等辺の頂角）＝５３＋６１＝１１４°
よって、ｘ＝（１８０－１１４）÷２＝３３°

（２）連立方程式
立式さえできれば正解◎
アは、じゃんけんの回数→１０
イは、段差。〔兄－弟＝－５〕となる→２ｘ－３ｙ

（３）確率
袋から取り出したものを戻して２回目をとる。
少なくとも１回は赤⇒全体－２回とも白（赤がでない）
白が出る確率は５分の２だから…
１－２/５×２/５＝２１/２５

大問４（関数）

（１）
ｙ＝１/２ｘ²から、Ａ（４、８）
ＤはＯＢの中点なのでＤ（０、５）
Ｄ→Ａで、右に４、上に３だから傾きは３/４
切片はＤ。
ＡＤ：ｙ＝３/４ｘ＋５

（２）
△ＯＡＢの面積は、１０×４÷２＝２０
四角形ＡＢＣＥ＝△ＯＥＣ＝１０

△ＯＥＣの底辺が６なので高さは、
１０×２÷６＝１０/３…Ｅのｘ座標
ＯＡの式はｙ＝２ｘなので、
Ｅ（１０/３、２０/３）

大問５（平面図形）

（１）相似の証明

円周角定理と対頂角で２角が等しい→∽
これを前提に解く相似の問題はたくさんあるので、
ぜひ取っておきたい。

（２）
実際に作図してみよう。

パッと見、△ＡＢＤと△ＡＢＥが合同に見える。
円周角や●＋●＝９０°をもとに調べていくと、
一辺両端角相等でやはり合同。
上の三角形と下の三角形は直径ＡＢをはさんで線対称。

ＣＤ＝ＣＥ。これをｘとおく。
方べきの定理から、ＡＣ×ＣＢ＝ＤＣ×ＣＥ
６×４＝ｘ²
ｘ＝２√６
（方べきの定理を知らない人は、前問の△ＡＣＤ∽△ＥＣＢを利用して、
６：ｘ＝ｘ：４の比例式から、外項と内項の積で式を立てればいい）
△ＡＣＤで三平方。
ＡＤ²＝６²＋（２√６）²＝６０
ＡＤ＝２√１５ｃｍ

大問６（数量変化）

（１）
６分後～１４分後（満水）を考える。
水面は４０－２０＝２０ｃｍ上がる…ア
８分間で水槽に入れた水の体積は４０×４０×２０ｃｍ³
これを８で割れば、１分あたりの水の量がでる。
４０×４０×２０÷８＝4000ｃｍ³

（２）
グラフを使えば楽に求めることができる。
図１も図２も２つのおもりの配置を変えただけなので、
入れる水の量は同じだから、ともに１４分後に満水になる。
おもりの影響をうけないところは水面の上昇率が等しい。

最後の線はかぶる。
おもりの高さは１０ｃｍなので、格子点を意識して青線をひく。
赤線に注目。
〔２分で１０ｃｍ上昇〕
水深８ｃｍは…２×８/１０＝８/５分後

大問７（データの活用）

（１）平均値と最頻値
0×0＋1×1＋2×1＋3×1＋4×3＋5×0＋6×2＋7×2＋8×0＋9×1＋10×0
＝５３
５３÷１１＝4.81…→平均4.8回
最頻値は標本数が最も多い４回

（２）中央値
表２で残りの人数は６人⇒ｘ＋ｙ＝６
０≦ｘ≦６…①

『２年生１５人の中央値が６回』
（１５＋１）÷２＝８番目が６回
表１と照らしながら、表２から２年生だけを抜き出す。
（以下、ボールの入った回数は〇で表しています）
【③×１、④×１、➄×ｘ、⑥×４、⑦×１、⑧×ｙ、⑨×２】

ここから、８番目が⑥になるように調整する。

⑥の手前に７人いれば、８番目は⑥になる。
ｘ＝７－２＝５人
⑥の４人目が８番目であればセーフ。
ｘ＝８－６＝２人
２≦ｘ≦５…②
①と②の共通する２≦ｘ≦５→２、３、４、５

大問８（空間図形）

（１）
展開図に引きなおし、△ＡＥＧで三平方。
ＡＧ²＝４²＋８²＝８０
ＡＧ＝√８０＝４√５ｃｍ

（２）切断面の作図は丁寧に！

ＡＣ//ＱＲになる。正方形の対角線ですね。

三平方を駆使する。高ささえわかればいい。
四角形ＡＱＲＣが等脚台形。

垂線を２本引くと、左右に合同な三角形ができる。
三平方で高さは、√{（２√５）²－（√２）²}＝√１８＝３√２
（２√２＋４√２）×３√２÷２＝１８ｃｍ²

＠余談＠

８＋４＋４＋２＝１８ｃｍ²

折り返すと等辺が重なり、さらに４つの90°が集まることで面がデコボコではない
→１つの面におさまる、ということになります。
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