2019年度 栃木県公立高校過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)  98.2%
-7+5=-2

(2)  84.3%
(3x-2)/5×10
=2(3x-2)
=6x-4

(3)  86.4%
5ab2÷a/3
=5ab2×3/a=15b2

(4)  89.9%
(x+8)(x-6)
=x2+2x-48

(5)  59.7%
25の平方根を求める。
□×□=25
□=±5  負の数を忘れずに!(ノ)`ω´(ヾ)

(6)  75.8%
多角形の外角の和は360°
x=360-(60+90+35+105)
=70°

(7)  80.7%
反比例の式に代入。
-2=a/6
a=-12 反比例の比例定数aはxy

(8)  55.2%
面積比は辺の比の2乗。
△ABC:△DEF=4:9
よって、8×9/4=18cm2

(9)  81.2%
連立方程式。加減法が多いかな?
x=-3、y=4

(10)  85.6%
大きいサイコロで〔何か〕を出す。
小さいサイコロで、その〔何か〕が出るのは1/6

(11)  80.3%
∠BOC=360-248=112°
円周角定理から、∠x=112÷2=56°

(12)  70.4%
解の公式
x={-7±√(72-4・1・1)}/2・1
=(-7±√45)/2=(-7±3√5)/2

(13)  52.8%
y=150-2x
y=-2x+150 ⇒一次関数ウ

(14)  64.9%
ピラミッドの形ですね。四角錘ア

大問2(小問集合2)

(1)  56.0%
作図。
斜辺をACとする直角三角形⇒∠ABCが90°
①Bを通る半直線ABと垂直な線をひく。
②それとℓとの交点が点C

(2)  73.9%
整数の性質に関する証明。
千の位…a、百の位…b、十の位…b、一の位…a
①…b、②…a

N=1000a+100b+10b+a
=1001a+110b
=11(91a+10b)
③…11、④…91、⑤…10

11の倍数であることを証明したいので、最後は11でくくる形にもってくる。

@余談@

強引に筆算で割ってみたらできた(*’ω’*)w

@11の倍数@
覚える必要性は乏しいですが、11の倍数にはルールがあります。
〔各位を交互に足し引きして11で割れたら11の倍数〕
505582だったら、、
5-0+5-5+8-2=11 →505582は11の倍数
奇数の位(一、百、万…)の和と偶数の位(十、千、十万…)の和を合算して、
11の倍数だったら11の倍数。

11で割ったときの余りに注目する。
奇数の位で、1=11×0+1、100=11×9+1、10000=1111×9+1
偶数の位で、10=11×1-1、1000=11×91-1、100000=11×9091-1
+1と-1で相殺すれば、余りがなくなって11の倍数になる。
〔abba〕だったら、(a+b)-(b+a)=0
0も11の倍数(11×0)だから、abbaは11の倍数。

専修大学松戸中学で11の倍数の判定法を丁寧な誘導をたどって仕組みを解明する問題が出ました。

(3)  28.3%!
y=ax2から、
Aのy座標は36a、Bのy座標は16a
A→Bの変化の割合が、ABの傾き-1/2と等しいことを利用する。
(16a-36a)/{4-(-6)
}
=-20a/10
-2a=-1/2
a=1/4

大問3(文章題)

(1)  34.2%(部分正答含む54.6%)
一次方程式の記述問題。
文章題では正確な情報整理を!
A店ではx本を、B店では(50-x)本を買う。
A店では2割引き→定価の8割で買う。
B店では定価で買ったが、割引券の使用で-500円。
150×8/10×x+{150×(50-x)-500}=6280
x=24

(2)①  43.8%
標本調査の正誤判定。
ア:度数が最も大きい階級→20-24。×
イ:12-16の階級の1人は最小値の12個。14個食べた人は0人。×
ウ:24~40において、最も小さい度数は32-36の2人。×
エ:範囲(レンジ:range)=最大値-最小値=39-12=27個。○

②  15.4%!(部分正答含む46.4%)
いちごを26個以上食べた人数が、参加者の半数以下であることを説明する。
26が中央値よりも大きいことを指摘する。

大問4(図形)

(1)  21.7%!(部分正答含む76.2%)
相似の証明。
∠ABCと∠EBDが共通角。
わざわざ辺の長さが与えられているということは、
2辺の比と間の角を使うと想像する。
AB:EB=10:5=2:1
BC:BD=8:4=2:1 →∽
対応する順番にアルファベットを書けるようにしよう。

(2)①  51.8%
円柱の高さは円の直径→8cm
4×4×π×8=128πcm3

②  2.9%!!
円がでてきたら、とりあえず半径の作図

↑これが見えたらしめたもの。
直角三角形の高さは、
√(62-22)=4√2
円柱の高さは、2+4√2+4
=6+4√2cm

大問5(数量変化)

(1)  83.2%
グラフの読み取り。
忘れ物を気付いたのは、家をでてから8分後。
家から600mの地点。

(2)  36.5%(部分正答含む46.3%)
記述式。

↑ここを求めよということ。
傾きと切片を頑張って求める。
y=60x+120

(3)①  52.6%
公式解答参照。
家;7時6分から学校;7時25分を直線で結ぶ。

②  18.6%!
これも同様に直線でひいてみる。

8分後に両者は100m離れている
あすかは分速150m、太郎は分速100mだから、
1分間で250mずつ近づいていく。
100÷250=2/5分…8分後から2人が出会う時間
2/5分間で太郎は、100×2/5=40m移動するので、
2人がすれ違う場所は家から500+40=540m

@別解@

これも中学入試の解き方だが(;`―´)
下の三角形に注目する。
高さは距離。
この距離を2:3の速さで走るので、
時間は逆比で3:2
太郎が出発してから、9×3/5=27/5分後に出会う。
100×27/5=540m

大問6(規則)

(1)  69.8%
図3を観察しよう。
四隅が②。四隅以外の周りが③。中が④
3種類に分かれる。

円の個数を調べる。
③のところは(1辺-2)個。
④のところは縦と横の積になる(↑であれば2×3=6個)。
③の円盤の枚数は10枚。

(2)  43.9%
前問と同様。

②×4+③×14+④×12
=98

(3)  4.9%!!(部分正答含む16.7%)
今までの規則を文字を使って一般化する説明記述。
四隅は…②×4
四隅以外の周り…③×(x-2)×4
中…④×(x-2)2
2×4+3×4(x-2)+4×(x-2)2=440
問題文より、m,n≧3とあるので、x≧3だから、
x=11

(4)  0.2%!!!(部分正答含む1.0%)

青の長方形の面積が780cm2になる。
④が書かれた円盤の枚数を最も多くするには、
青がどのような長方形になればよいだろう?

正方形です(・д・)
④の円を最も多くするには、
中に円をギュッと集める必要がある。
縦長や横長の長方形にしてしまうと、
③の数が多くなり、その分、④の個数が減ってしまう。
だから、正方形に近い長方形にする
(栃木数学の最後はいつも正方形問題がでてくるので、
過去問をやった受験生は気づけたはず)

780を素因数分解すると、2×2×3×5×13
〔〇×△〕で〇と△の数をできるだけ近づかせる。
26×30〕が最も正方形に近くなる。
数的センスも問われる。コツは最小の2と最大の13をかけ合わせ、
〔2、3、5、26〕と数を減らしていき、〔26、30〕に持っていく。

m=a+1、n=b+1としているのは、両端に半径1cmがあり、
縦m枚から円1枚をとりのぞいた長さがa枚の長さで、
横n枚から円1枚をとりのぞいた長さがb枚の長さになるから。
つまり、長方形の縦26cmがa枚分、横30cmがb枚分。
円の直径は2cmなので、
a=26÷2=13枚、b=30÷2=15枚

ごちゃごちゃして申し訳ない(;^ω^)
④は赤い線の範囲。
青の長方形から縦横1cm減るので、円1枚分が減る。
12×14=168枚

 
来年度も最後の大問では正方形を意識した方がいいかも。
大問1と2がパーフェクトであれば40点もらえる。
記述はあきらめずに書いてほしい。
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