2024年度 神奈川県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均55.6点(前年比;+2.6点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(ア) 98.0%
2-8
=-6 【2】

(イ) 97.7%
-4/5+1/4
=-11/20 【2】

(ウ) 89.2%
(3x-y)/4-(5x+2y)/9
={9(3x-y)-4(5x+2y)}/36
=(27x-9y-20x-8y)/36
=(7x-17y)/36 【1】

(エ) 94.8%
10/√5+√80
=2√5+4√5
=6√5 【3】

(オ) 91.9%
(x-2)2-(x+3)(x-8)
=x2-4x+4-(x2-5x-24)
=x2-4x+4-x2+5x+24
=x+28 【4】

大問2(小問集合)

(ア) 89.6%
x=3、y=2を代入。
3a-2b=-10 …①
2a+3b=-11 …②
①×2-②×3をすると、-13b=13
b=-1
①に代入。3a-2×(-1)=-10
3a=-12
a=-4 【2】

(イ) 90.9%
3x2-5x-1=0
解の公式を適用すると、x=(5±√37)/6 【4】

(ウ) 69.8%
0≦y≦6→a>0(グラフは下に凸のグラフ)
x=-3のとき、最大値y=6
これらをy=ax2に代入すると、
6=9a
a=2/3 【1】

(エ) 76.5%
ペンの合計…150x円、ノートの合計…200y円
これらの和が3000円以下だから、150x+200y≦3000 【3】

(オ) 55.8%
球の体積V=4/3πr3
4/3π×63=288πcm3 【4】

(カ) 86.2%
2-9y2 ←平方の差
=(x+3y)(x-3y)
=(143+3×47)(143-3×47)
=(143+141)(143-141)
=284×2=568 【3】


大問3(小問集合2)

(ア)ⅰ a…92.6%、b…90.7%
△ACG∽△ADHの証明。

仮定の二等分線より、∠CAG=∠DAH
AB=ACより△ABCは二等辺三角形。
2つの底角は等しいから、∠ABC=∠ACB
弧ACに対する円周角で、∠ABC=∠ADC
よって、∠ACG=∠ADH
2角が等しいので∽。
a…【1】、b…【4】

ⅱ 12.8%!

先ほどの等角を足掛かりにする。
△ADHで外角定理より、×=61°

△AGCの外角定理から、∠AGE=×=61°
同様に△AEGの外角定理で、∠AEB=+61°である。
が知りたい。

弧CFの円周角より、∠CDF=
△ADIの内角に着目する。
+(●×)+73=+61+73=180
●●=46°
=23°
したがって、∠AEB=23+61=84°

@別解@
0ystarさんから素敵な別解をいただきました。

∠ABE=∠ADB(×)、共通角()より△BAE∽△DABです。
対応する角から、∠AEB=∠ABD

円に内接する四角形の内角は、その対角の外角に等しいので、
∠ABD=∠ICD
求めるべき角を右側に移動できました。

∠CAF=∠CDF()と共通角73°より△AIF∽DIC
対応する角で、∠ICD=∠IFA
∠CHF=180-61=119°
四角形CIFHの内角より、∠AEB=(360-119-73)÷2=84°

(イ)ⅰ 57.8%
ABは50人。
中央値(Q2
)…25番目と26番目の平均。
第3四分位数(Q3)…上位25人の真ん中、上から13番目。
第1四分位数(Q1)…下位25人の真ん中、下から13番目。
Cは60人。
Q2は30番目と31番目の平均。
Q3は上から15番目と16番目、Q1は下から15番目と16番目の平均。

最も見当がつきやすいのはC中。
ヒストグラム全体が左に寄っているので、真ん中付近の50%である箱も左に寄るはず
C中のQ3を調べてみると、唯一20~25分の階級に含まれる。
残りはQ1の違いから判断して、AとBの下から13番目を調べるとすべて決まる。
【4】

ⅱ 33.4%
ヒストグラムから判断する。
Ⅰ:30分以上はB中の1+7+4=12人が最多。×
Ⅱ:A中…5/50、B中…7/50、C中…9/60
通分で比較すると、7/50<9/60だからC中が最も大きい。×
Ⅲ:A中…10/50、B中…10/50、C中…12/60→いずれも1/5で等しい。〇

Ⅳ:25分の境をつくると、A中とC中は左が多いので均すと25分未満になる。
B中はいったん27.5分の境で判断すると、20~35分までは左右対称で平均値27.5分。
残りの青枠を考慮すると、平均値は-2.5分を超える(=25分未満)と判断できる。〇【6】

(ウ) 3.4%!!
面白い問題です。

取っ掛かりがつかみにくい。
一番奇妙な情報はどこかといえば、EC=12cm
12cmが目につくので、これをどうにか活用したい。

直角三角形の斜辺の中点Dを中心とする円を想像する
直径ABに対する円周角∠ACB=90°→半径よりDC=12cm
△BCDは3辺が等しい正三角形である。

角度を調べていく。
∠DCE=90-60=30°
△CEDは二等辺三角形なので、∠CDE=(180-30)÷2=75°
CGは底辺DEの中点を通る→CG⊥DE
∠ADE=180-(60+75)=45°

求めたいのはGHの長さ。
DE//BFに注目すると、GHは平行線の距離に相当する
DEを延長して、Aからおろした垂線の足をIとする。
AD:DB=1:1より、AI=GH

△ADIの内角は45°―45°―90°の直角二等辺三角形
辺の比は1:1:√2だから、AI=GH=12×1/√2=
6√2cm

(エ) 18.6%!

最初の塩は、300×4%=12g
agの食塩水を取り出して、agの食塩を入れたから、食塩水全体は300gで変わらない
最後の塩は、300×12%=36g
つまり、塩は24g増えている。

取り除いた食塩水agの濃度は4%。aを【100】とすると、これに含まれる塩の量は【4】。
入れたagの塩は濃度100%だから【100】。
増加した塩の量で等式を立てると、-【4】+【100】=【96】=24g
a=24×【100】/【96】=25g 【5】


大問4(関数)

(ア) 89.1%

y=-xにx=-6を代入→A(-6、6)
これをy=ax2に代入すると、
6=36a
a=1/6 
【2】

(イ) 69.1%
Cのy座標はAと同じ6。
y=-3xにy=6を代入→C(-2、6)
CO:OF=
より、F(1、-3)

E(-6、3)→F(1、-3)
右に7、下に6なので、傾きmは-6/7
F(1、-3)から左に1、上に6/7移動して、切片nは-3+6/7=-15/7
ⅰ…【5】、ⅱ…【3】

(ウ) 6.0%!!

△CEF:△COG=3:2
CO:OF=に着目して△CEFをEOで分割すると、
△CEOと△COGは面積2で等積

DB;y=1/2x+3
DBとCFの交点をHとする。
Eを通るCFに平行な線を引き、DBとの交点をIとする
等積変形で△CEO=△CIO
y=-3x+bにE(-6、3)を代入→EI;y=-3x-15

△CIO=△COG→IH=GH
Gを通るCFに平行な直線の式→y=-3xを対称の軸としてy=-3x-15を対称移動させた直線
→y=-3x+15(y=-3x-15の切片が+15に変わる)
Gはy=1/2x+3とy=-3x+15の交点だから、
1/2x+3=-3x+15
x=24/7

大問5(確率)

(ア) 49.5%
カード【4】だけを残す→カード5枚を取り除く。
操作2は結局1枚しか取り除かないので、操作1で4枚取り除く必要がある
⇒約数が4個ある6を取る→a=6が確定する

a=6のとき、残りは【4】【5】。
【4】だけを残すには4以外であればいい→bは5通り。
全体は6×6=36通りで5通りしかないから、確率は5/36。

(イ) 48.0%
●約数を整理●
1→1
2→1・2
3→1・3
4→1・2・4
5→1・5
6→1・2・3・6

〔全体-6が取り除かれる=6が残る〕余事象で攻める。
●a=6
6は取り除かれたので、bは何でもいい。6通り
●a=5
bは取り除かれた1・5、もしくは6を出す。3通り
●b=4
bは取り除かれた1・2・4、もしくは6を出す。
つまり、bは約数の個数+1をすればいい。3+1=4通り
●b=3
2+1=3通り
●b=2
2+1=3通り
●b=1
1+1=2通り
6+3+4+3+3+2=21通り
6を含むのは36-21=15通りだから、確率は15/36=5/12


大問6(空間図形)

(ア) 51.3%

△BCDは直角二等辺ではないことに注意!
二等分すると3:4:5の直角三角形になる。
三角錐の体積は、6×4÷2×10÷3=40cm3 【2】

(イ) 4.8%!!

△AEBを右側に移す。
GHを一直線で表すとこのようになる。

Dを通るHGに平行な線をひき、ABとの交点をJとする。
AH:HD=AG:GJ=1:1
中点連結定理より、DJ=HG×2=
JはGBの中点である。

GHとBDを延長、交点をKとする。
GJ:JB=1:1より、KD=DB=10cm
中点連結定理より、KG=DJ×2=

KGを延長、Aから真横に引いた線との交点をLとする。
△KDH∽△LAHより、AL=10cm
△KBG∽△LAGより、LG=KG÷2=

KBを延長、Lからの垂線の足をMとする。
LM=10cm、KM=25cm
辺の比はLM:KM=10:25=②:⑤
△LKMで三平方→LK=〇√29=10×〇√29/②=5√29cm
GH=5√29×/=5√29/6cm


昨年並みの難易度であった。8割を超えるには幾何の攻略を要する。
大問1
例年通り。15点とろう。
大問2
(ア)神奈川は係数が互いに素なのが多い印象。
(ウ)初手はy変域からグラフが上向きなのか、下向きなのかを判断する。
大問3
(ア)ⅰ:誘導に従って正解したい。
ⅱ:迷子になりやすい。ⅰの等角を使う。
外側にある73°をどう巻き込むか。
決め手は弧CFの円周角、∠CAF=∠CDF
(イ)ⅰ:ABとCで人数が異なる。
不幸にも最小値と最大値がどれも同じ階級…Q1~Q3が何番目の値かを調べておく。
C中=Yと決めたら、XとZは何が違うのか。Q2よりQ1が判断しやすい。
ⅱ:25分を仮の平均として、ヒストグラムの形から判断する。
左右対称であれば真ん中が平均値になる。
(ウ)意表を突いた構図で、ちょっと考えてダメだったら後回し。
12cmが多く、EC=12が浮いている。他にも12cmはないか。
直角三角形の中点Dを中心とする円を描けるかがポイントであった。
角度調査→∠ADE=45°、GHはどんな線分かを分析する。
(エ)中受では食塩水の濃度操作は頻出分野だが、高受はめずらしい。
減ったagは4%、増えたagは100%。
大問4
(ウ)面積比3:2、底辺の比が3:2から、高さが1:1だと見やすい。
傾き-3の3本の直線で、真ん中のy=-3xは原点Oを通過する。
ということは、左右の直線の切片は絶対値が同じ。
大問5
(1)個別で調べるのではなく、方針を立てたい。
5枚取り除くにはどうするか?操作2では分岐があるが1枚しか取らない。
以上から、操作1で出すべき出目が決まる。
(2)操作2では最大値6が取られやすい。
余事象を使うと、bは約数の個数+1で整理ができる。
大問6
(イ)GHを作図する。
斜線なので、どこかで三平方を使う。AI⊥DBからAI=10cmを利用する。
数値が汚いので計算力で乗り切るか、整数値の辺→辺の比を使って処理を簡略化する。
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コメント

  1. 匿名 より:

    初コメ失礼します。
    大問3(ア)iiですが、別解を思いついたので書かせていただきます。(誘導は生かせてないですが)

    ∠ABC=∠ACB(仮定)、∠ACB=∠ADB(弧AB)から∠ABE=∠ADBで、∠BAE=∠DABが共通なので△BAE∽△DAB
    よって、求める角∠AEBは∠ABDと等しい。
    円に内接する四角形の性質から、∠ABDは∠ICDと等しい。
    ∠CAF=∠CDF(弧CF)、∠AIF=∠DIC(共通)より△AIF∽△DICだから、∠ICDは∠IFAと等しい。
    四角形CIFHの内角の和で、73+(180-61)+2∠ICD=360、これを解いて∠ICD=∠84°より∠AEB=84°

    いい別解なのかは分かりませんが、個人的には計算量が減るのでこっちの方が楽だと思います。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      図形の特徴を紐解いた面白い解法で素晴らしいです!
      図形の右側に情報が寄っているので、サボは∠ABDに注意を払わなかったです。
      せっかくですし、匿名さんがよろしければ記事に別解として掲載したいのですが大丈夫でしょうか?
      可能であれば掲載するハンドルネームかリンク先等があれば教えてください。

      サボ

      • 0ystar より:

        ありがとうございます。掲載していただいて大丈夫です。
        ハンドルネームはこれでお願いします。

        • 家庭教師サボ より:

          こちらこそありがとうございます。
          掲載させていただきました。ご査収くださいませ。
          また何かございましたら、気兼ねなくコメントしてください。

          サボ

  2. 匿名 より:

    今年結構簡単でしたね。大問3の(ウ)もムズそうに見えて、15度、75度、90度の辺の比を覚えていれば秒で解けるし。知っているかどうかで解く時間が大きく変わってしまう問題はやめてほしいですね。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      その辺の比は中学数学では許容範囲かなと(;^ω^)消された線分を適切に付け足すところが面白いと思いました。
      神奈川は3月中に検査結果を公表しますので、正答率がどうなのかちょっと楽しみです。

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