2024年度 埼玉県公立高校入試問題・学校選択過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
(-6xy3
)÷(3/2x2y)×(-5x)2
=(-6xy3)÷(3/2x2y)×25x2
=-100xy2

(2)
対称式。
xy=(√2+1)(√2-1)=(√2)2-12=1
x+y=(√2+1)+(√2-1)=2√2

xy-x-y+1
=xy-(x+y)+1
=1-2√2+1
=2-2√2

(3)
5(x-1)2+3(x-1)-1=0 ←X=x-1とおく
5X2+3X-1=0
解の公式を適用、X=(-3±√29)/10 ←X=x-1に戻す
x-1=(-3±√29)/10
x=(7±√29)/10

(4)
共通問題と同じ。
ア:20人の中央値は10番目と11番目の平均。12~16冊の階級に含まれる。×
イ:8~12冊の度数が4。相対度数は、4/20=0.20×
ウ:最頻値(モード)は最も現れている値で、12~16冊の階級値である14。×
エ:累積相対度数は、その階級以下の相対度数の合計。
12~16冊の累積相対度数=1-16~20冊の相対度数
16~20冊の相対度数は、3/20=0.15
12~16冊の累積相対度数は、1-0.15=0.85〇

(5)
共通問題と同じ。


影1つの面積
は正三角形の1/4。
影1つを①とすると、上図のようになる。

白…両サイドが③、あいだのx-2個が②→③×2+②×(x-2)=2x+2
影…あいだのx-1個が①ずつ→x-1
2x+2:x-1=5:2
内項と外項の積より、5(x-1)=2(2x+2)
5x-5=4x+4
x=9

(6)

平行四辺形を対角線ACで分けて2等分する。
△ABC、△CDAの面積をそれぞれとする
 
EとFは中点だから、△DEF∽△DACの相似比は1:2

面積比は2乗して1:4→△DEFの面積は1/4

△AEG∽△CBGより、AG:GC=
△ABGの面積は、1×/1/3
△ABG:△DEF=1/31/4=4:3
△ABGの面積は△DEFの4/3倍。

(7)

A(-2、4a)B(4、16a)
ABの傾きは1/2だから、A→Bは右に6、上に3。
AとBのy座標の差より、12a=3
a=1/4

A(-2、1)B(4、4)
x座標の差から切片との距離は、2:4=
y座標の差3==1
切片は1+1=2
y=1/2x+2

(8)

回転体はこのような図形になる。
△ABCは直角二等辺→辺の比は1:1:√2だからBC=2√2cm
円錐の頂点をOとすると、△OBCも直角二等辺だからOC=2√2cm

上の小さい三角錐の体積をとすると、大きい三角錐は2×2×2=
回転体の中央の空洞部分は、小さい円錐と底面積と高さが一緒だから合同()。
回転体の体積は、×2=
2√2×2√2×π×2√2÷3×/=4√2πcm3

@余談@
回転体の体積には面白い定理がある。

パップス・ギュルダンの定理;回転体の体積=断面積×重心の移動距離
断面積は△ABC。重心GはAの真下にあり、軸との距離は√2cmである。
(2×2÷2)×(√2×2×π)=4√2πcm3

(9)
共通問題の図形から線分が3本消されている。

BE・EH・HAに補助線。
円周角の大きさは弧の長さに比例する。
弧ABは弧1つ分。∠AHB=①とすると、
弧3つ分(弧BE=弧EH=弧HA)に対する円周角である、
∠BHE=∠EAH=∠HEA=③

△KEHで外角定理→x=③+③=⑥
△ABHの内角より⑩=180°だから、x=180×⑥/⑩=108°

(10)
共通問題と同じ。

最小値と最大値は同じなのに、期間①より期間②の方が開花日が早い理由を記述する。
端的に『第1四分位数(Q1)と第3四分位数(Q3)がともに期間②の方が早い』で良い。
箱の区間は全データの真ん中に集まる約50%で、全体的に期間②の方が早い。


大問2(平面図形)

(1)

AB//PC、∠ABC=90°から、PはCを通る垂線上にある。
AB:PC=②:③→AB=②の長さをCから移し、さらに②を垂線上に移す。
Cからの距離②と④の垂直二等分線から、CP=③をつくる
【1】Cを通る垂線。
【2】CからABの長さ(②)を移し、さらに真上に②を移す。
【3】②と④を垂直二等分線で割る。交点がP。

(2)
∠CIH=90°の証明。

Cは小さい正方形の頂点。
しかし、HとIは位置が不明で、△ICHの情報が足りない。
正方形の内角である∠GAH=90°から、隣にある△AGHとの相似を指摘すれば
対応する角から∠CIH=90°
が導ける
対頂角の他にもう1つの等角、∠AGH=∠ICHが欲しい。


そこで、△ACDと△AGBに着目する
正方形の辺からAC=AG、AD=AB
∠CAB=∠CAB+90°=∠GAB
2辺とあいだの角が等しいので△ACD≡△AGB

対応する角で、∠AGH=∠ICH
対頂角で、∠GHA=∠CHI
2角相等により△AGH∽△ICHだから、∠GAH=∠CIH=90°

大問3(関数)

共通問題と同じ。
(1)

y=xにx=tを代入→Qのy座標はt
y=1/3x2にx=tを代入→Rのy座標は1/3t2
ア…t、イ…1/3t2

(2)

0<t<3のときは上から順にQ・R・Pだが、
3<t≦5のときはR・Q・Pになる。
つまり、3を過ぎるとQとRが逆転してPRが最も長くなるので、
PQ:PR=4:3は成り立たない。
『Rのy座標がQのy座標より大きくなるから』

(3)

0<t<3の場合、t:1/3t2=4:3
内項と外項の積で、4/3t2=3t
4t2=9t
4t2-9t
=t(4t-9)=0
0<t<3より、t=9/4

3<t≦5の場合、t:1/3t2=4:5
内項と外項の積で、4/3t2=5t
4t2=15t
4t2-15t
t(4t-15)=0
3<t≦5より、t=15/4
x=9/4、15/4


大問4(場合の数)

(1)
全体は22=4通り
2回投げてAに止まる→2回で4マス進むのは
〔表・表〕しかない
確率は1/4。

(2)①
4マス進む組み合わせで場合分けをする。
〔表・表〕→1通り
〔表・裏・裏〕→3回のうち表をどこで出すかで3通り。
〔裏・裏・裏・裏〕→1通り
計5通り。



留意点は、『1周目でAに止まらないこと』!
1回でもAに止まると操作終了になるので2周できない。
いったんDで止まり、表を出してAをスキップ。BからAを目指す

A→Dは〔表裏〕〔裏表〕〔裏×3〕の3通り。
B→Aも同様に3通り。
3×3=9通り

大問5(空間図形)

(1)
共通問題と同じ。

△AEFの内角において、∠AFE=、∠FAE=×とする。
×=90°で、内角が×―90°であれば、AE:EF=2:1の比が使える。
水面の左端をJとする。
AF⊥JBだから∠AIJ=90°→△AJIにおいて、∠AJI=

∠JAB=90°
△BAJは内角が×―90°なので、BA:AJ=2:1
AJ=6÷2=3cm
EJ=12-3=9cm
水の体積は、(9+12)×6÷2×6=378cm3

(2)

長方形の縦6cm、横12cmしかわかっていない(´゚д゚`)
しかし、平行線と直角を利用すると、いろいろな相似が見える。
12と6が対応する関係で、BFは斜辺しかなさそうだから
ABを斜辺とする△ABQに着目してみる

Bから垂線をおろし、足をRとする。
×=90°で、∠ABF=∠QBR=90°を使って等角を移動していくと、
2角相等から△ABQ∽△FBR
対応する辺からAQ:FR=、BQ:BR=とする。

AFと水面の交点をSとし、Sからの垂線の足をTとする。
同位角でASQ=45°
△ASQは直角二等辺→AQ=SQ=TP=
△SFTも直角二等辺→BR=ST=FT=
FRに注目すると、


を3倍してに比を統一するとこうなる。
△FBRの辺の比はBR:FR=①:③→三平方でBF=〇√10
水面の高さBR=12×①/〇√10=6√10/5cm

@別解@
なんとか前問を利用できないかと試行錯誤してみました。

(1)はAFが床に対して垂直だった。そこからさらに45°傾ける。
はじめの水面の反対側をG、傾けた後をHとすると、水面の傾きである∠GBH=45°がいえる

AFとBG、BHとの交点をI・Jとする。
同位角より、∠IJB=45°
△IJBは直角二等辺三角形である。

AI⊥BGから×=90°を使うと、△ABG∽△IAG∽△IBAがいえる。
GI=①とすると、AI=①×2=②、BI=②×2=④

△AGI∽FBIより、IF=②×4=⑧
△IJBは直角二等辺だからIJ=④→JF=④

△ABJ∽△FHJより、HF=4cm
あとはFから垂線を引いて辺の比が1:3:√10の直角三角形をつくるか、
三平方からBH=4√10cmと求め、△HFBの面積より、4×12÷4√10=6√10/5と出ます。
この図形の別の見方ということでお納め下さい。


大問1
(5)共通問題では15問目であったが、学校選択では5問目で出題された。
難しく感じたら後回し推奨。
(6)平行四辺形を半分ずつに分け、左右それぞれで面積比を求める。
(8)真ん中の空洞は上の三角錐を下にひっくり返した形。
(9)いきなりxは求まらない。円に囲まれている図形は円周角を疑う。
大問2
(1)どうすれば1.5倍が作れるか→1倍と2倍の真ん中。
(2)下準備が必要。
大問3
(3)他県でいくつか見たことのある形式。
大問4
(2)①ここまでは短時間で確実に取りたい。
②一度Aをスキップするのがポイント。
そこさえわかれば計算は楽であった。
大問5
(2)難問。∽がたくさんでてくるので、どこに絞るかが難しい。
サボは斜面12と斜面6の直角三角形の∽に着目しました。
直角二等辺を利用すると、縦の辺を横の辺に切り替えられるので、
FRで等式を立てると比をそろえることに成功した。
公立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

  1. ペン より:

    数学の最後の問題、QPとBFの交点をG、ABの延長線とFPの延長線の交点をHとすると、三角形GFPと三角形HAPが合同になるから、BHをxとおくと、FGは6+x、BGは6-xと表せる。三角形AFPは直角二等辺三角形よりFP=AP=3√10で、三角形ABG∽三角形FBHより、AB:BG=FB:BHが成り立つ。よって6:6-x=12:xでこれを解くとx=4となる。最後に三角形AQB∽三角形APHでQPをyとおくと、6:4=3√10-x:xで、これを解くとy=6√10/5と答えが出てくると思います。整数値が出てくるのでこれが正攻法なんじゃないかと思います。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      高校受験っぽくない解法になってしまったので参考になります。
      FP=AP=3√10を使い、あとはどこで相似をつくるかが勝負の分かれ目ですね。

  2. 青チャート愛好家 より:

    今年埼玉県の公立入試(学校選択)を受けた者です。サボ先生のサイトを見始めたのは中3の夏休み頃でした。それまでは数学が大嫌いで得点もあまり高くありませんでした。でもサボ先生の面白く丁寧な解説を見ているうち、その魅力に引き込まれていました。問題のPDF化も非常に助かりました(簡単に見られない問題も多いので……)。志望の高校に受かったのもサボ先生のおかげで、非常に感謝しています。これから学習するのは高校数学なのでサボ先生のはサイトを見る機会は少なくなってしまうかもしれませんが、高校入試は大好きなのでこれからも見続けようと思います。本当に今までありがとうございました!忙しいとは思いますがこれからも頑張ってください。

  3. 火拳!!!!! より:

    僕は大宮高校というところを受けたんですが、大問4のラス問は僕含めほとんどの人が34通りと書いていました。1周めでAに止まるのを除かなかったことによるミスで、聞いた感じの正答率は10%を普通に下回りそうです。ここは6点なので勝負の分かれ目になったと思います。

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。

      合格おめでとうございます。大宮高校知ってますよ!すごい学校ですよね。
      そうおっしゃって頂き、こちらこそ感謝です。言葉遣いも丁寧で大人の私が恐縮です。
      大問4のラス問は良い問題でした。前の問題が1周だったので、その流れを受けやすいのだと思います。
      学校選択者であっても正答率はかなり低そうです。

      いえいえ、ぜひ先に進んでください。私も青チャートを持っています。
      大学受験はあの分厚い本を早くインプットして、いかに演習に時間を割けられるかが大事だと耳にしましたので、
      そちらを優先してください。余った時間にまた遊びにきて頂けたらなと(´ω`)
      大学受験でも桜が咲くように祈っております。

      サボ

タイトルとURLをコピーしました