2025年度　都立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問１（小問集合）
大問２（式の証明）
大問３（関数）
大問４（平面図形）
大問５（空間図形）

大問１（小問集合）

（１）
３－６²÷４
＝３－36÷４
＝３－９
＝－６

（２）
（９ａ－ｂ）/５－ａ＋２ｂ
（９ａ－ｂ－５ａ＋10ｂ）/５
＝（４ａ＋９ｂ）/５

（３）
（３√７＋８）（３√７－８）
＝（３√７）²－８²
＝63－64
＝－１

（４）
（９ｘ－６）/２＝４ｘ＋１　←２倍
９ｘ－６＝８ｘ＋２
ｘ＝８

（５）
８ｘ－５ｙ＝－３　…①
ｙ＝２ｘ－１　…②
②を①に代入。
８ｘ－５（２ｘ－１）＝－３
８ｘ－10ｘ＋５＝－３
ｘ＝４
②に代入、ｙ＝２×４－１＝７
ｘ＝４、ｙ＝７

（６）
ｘ²－９ｘ＋７＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（９±√53）/２

（７）
ｙ＝－ｘ²は上に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
ｘ＝３のとき、最小値ｙ＝－９
－９≦ｙ≦０
①…ア、②…オ

（８）
５枚から３枚取る組み合わせは、_５Ｃ_３＝10通り
和が10以上を調べる。大きい数字を基準にするといい。
（５、４、１）（５、４、２）（５、４、３）（５、３、２）の４通り。
確率は４/10＝２/５
あ…２、い…５

＠別解＠
１～５の和は15。
取った３枚の和が10以上ということは、取らない２枚の和は５以下である。
（１、２）（１、３）（１、４）（２、３）の４通り。
全体は_５Ｃ_２＝10通り、確率は４/10＝２/５

（９）

Ｂ・Ｃから等距離→ＢＣの垂直二等分線
これとＡＤとの交点がＰ。

大問２（式の証明）

（１）

適当な値を代入して計算する。
ａ＝１、ｂ＝７のとき、Ａ＝（１＋７）÷２＝４
Ｂ＝７²－１²＝48
48÷４＝12倍
エ

＠理由＠
向かい合う点の差は必ず６。
ａ＝ｘとすると、ｂ＝ｘ＋６
Ａ＝{ｘ＋（ｘ＋６）}÷２＝ｘ＋３
Ｂ＝（ｘ＋６）²－ｘ²
＝（ｘ＋６＋ｘ）（ｘ＋６－ｘ）
＝６（２ｘ＋６）
＝12（ｘ＋３）
Ｂ÷Ａ＝12（ｘ＋３）÷（ｘ＋３）＝12倍

（２）

今度は向こう側との差が12になる。
ｂ＝ａ＋12、ｄ＝ｃ＋12
Ｐ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）/４　←代入
＝（ａ＋ａ＋12＋ｃ＋ｃ＋12）/４
＝（２ａ＋２ｃ＋24）/４
＝（ａ＋ｃ＋12）/２
24Ｐ＝24×（ａ＋ｃ＋12）/２
＝12ａ＋12ｃ＋144　…①

Ｑ＝ｂｄ－ａｃ
＝（ａ＋12）（ｃ＋12）－ａｃ
＝ａｃ＋12ａ＋12ｃ＋144－ａｃ
＝12ａ＋12ｃ＋144　…②
①、②より、Ｑ＝24Ｐ

大問３（関数）

（１）
ｙ＝１/２ｘ＋３にｙ＝－１を代入。
－１＝１/２ｘ＋３
１/２ｘ＝－４
ｘ＝－８
ア

（２）
Ｂ座標は目盛りからわかるが…計算で求める場合は、
ｙ＝１/２ｘ＋３にｙ＝０を代入→ｘ＝－６
Ｂ（－６、０）→Ａ（０、－４）
右に６、下に４だから、傾きは－４/６＝－２/３
切片はＡのｙ座標より－４
ｙ＝－２/３ｘ－４
ウ

（３）

Ｐのｘ座標をｔとする。Ｐ（ｔ、１/２ｔ＋３）
△ＡＰＢ…幅ｔ＋６、高さ７
△ＡＱＰ…幅ｔ、高さ１/２ｔ＋３
△ＡＰＢ＝２△ＡＱＰ（÷２省略）
７（ｔ＋６）＝２ｔ（１/２ｔ＋３）
７ｔ＋42＝ｔ²＋６ｔ
ｔ²－ｔ－42
＝（ｔ－７）（ｔ＋６）＝０
ｔ＞０ゆえ、ｔ＝７

大問４（平面図形）

（１）

ＡＱ＝ＢＱ、半円の弧に対する円周角から∠ＡＱＢ＝90°
→△ＡＢＱは直角二等辺三角形
∠ＱＡＢ＝45°
∠ＲＡＰ＝45－20＝25°
△ＡＰＲで外角定理→∠ＢＰＲ＝ａ＋25°
イ

（２）①
△ＡＰＲ≡△ＡＱＲの証明。

共通辺ＡＲ、仮定よりＡＰ＝ＡＱ
弧ＢＲ＝弧ＱＲより、等しい弧に対する円周角は等しいから∠ＰＡＲ＝∠ＱＡＲ
２辺とあいだの角が等しいので合同。

②

合同の証明で用いた等角に着目する。
弧ＢＲの円周角ＢＡＲ＝●→中心角ＢＯＲ＝●●
∠ＱＡＯ＝∠ＲＯＢで同位角が等しいから、ＡＱ//ＯＲ
△ＲＳＴを調べるために、線分の比を求めていく。
ＡＰ：ＰＯ＝②：①→ＡＱ＝②
△ＡＢＱ∽△ＯＢＴより、ＯＴ＝②÷２＝①
半径は③だから、ＴＲ＝③－①＝②

錯角とＡＱ＝ＲＴより、１辺両端角相等で△ＡＱＳ≡△ＲＴＳ
ＱＳ＝ＳＴから、ＳはＱＴの中点である。

ＡＱ//ＯＲから上底と下底の比が使える。
ＡＱ＋ＯＲ⑤＝台形ＡＯＲＱ⑤、ＴＲ②→△ＲＱＴ＝②
（ＡＱ②→△ＡＯＱ＝②、ＯＴ①→△ＴＱＯ＝①）
△ＲＳＴ＝②÷２＝①だから、四角形ＡＯＲＱの１/５倍。
う…１、え…５

大問５（空間図形）

（１）

底面は四角形ＡＥＨＤ。
ＰからＡＤに垂線をおろした足をＱとすると、高さはＰＱ。
ＡＰ＝ＰＣ→Ｐは正方形の対角線の交点→△ＡＰＤは直角二等辺
→△ＡＰＱと△ＤＰＱも直角二等辺だから、ＰＱ＝３ｃｍ
四角錘Ｐ―ＡＥＨＤの体積は、４×６×３÷３＝24ｃｍ³
お…２、え…４

（２）

△ＥＦＨは直角二等辺→１：１：√２からＦＨ＝６√２ｃｍ
面ＡＥＧＣは直方体を２等分する面（対称面）である。
ＥＧとＦＨの交点をＯとすると、ＥＧ⊥ＦＨ、ＦＯ＝ＨＯ
Ｏが含まれる対称面を基準にＦとＨは対応する点にあるので、
同じく対称面上にあるＰとＦ・Ｈはそれぞれ等距離にある。
→△ＰＦＨは二等辺三角形
ＰからＦＨにおろした垂線の足はＯにあたる。

Ｐの真下をＲとする。
ＥＧ＝⑥、ＯＧ＝⑥÷２＝③
ＯＲ＝③－①＝②
ＥＧ＝６√２ｃｍだから、ＯＲ＝６√２×②/⑥＝２√２ｃｍ
△ＯＰＲで三平方→ＰＯ＝２√６ｃｍ
△ＦＰＨの面積は、６√２×２√６÷２＝12√３ｃｍ²
き…１、く…２、け…３

従来通りの傾向だった。
大問１
配点が46点もある。
（５）加減法だけでなく、代入法でも解けるようにしたい。
（７）グラフが上に凸か下に凸か、原点を通過するかどうか。
迷ったらグラフを描く。
（８）取らないカードの方が枚数が少ないので調べやすい。
（９）よくみかける形式。
大問２
（１）問題文の言い回しから、ＡとＢがどんな値でも〇倍になると予想できるので、
適当な値を放り込んで計算すれば正解できる。
向かい合う点の差が６であることがポイントだった。
（２）向かい合う点に文字を設定するので、ここも差に着目する。
ｂをａ、ｄをｃで表して、文字を４種類から２種類に減らす。
24ＰとＱの値をそれぞれ求めて、両者が等しいことを導く。
大問３
グラフの目盛りいらない(´ﾟдﾟ｀)
（３）求めたいＰのｘ座標をｔとおき、２つの三角形の面積をｔで表して方程式に持ち込む。
過去問をしっかり対策しておけば解きやすい。
大問４
（１）図１は問１の状況ではない。ＱはＯの真上にある。
（２）①証明は平易だった。
②本試験の最難関。△ＲＳＴが中にあるので求めにくい。
与えられた情報が線分の比だけなので、他の線分も比で表す。
ＳはＡＲとＱＴの交点→Ｓより先にＴの情報をつかむ。
半径ＯＲ③にあるＯＴ：ＴＲが求められないか。
ＡＱとＯＲが平行っぽい…前問の合同で用いた等角から平行→相似でＯＴ
ここまでくれば芋ずる式でＳもわかりやすい。最後は上底と下底の比から面積比を求める。
大問５
（２）△ＰＦＨはなんとなく二等辺三角形だと直感でわかるが、
なぜそうなるのか、理屈で説明できるようにしておきたい。
二等辺の高さを斜辺とする直角三角形をつくる。

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