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2023年度 都立高校入試問題過去問【数学】解説

平均57.6点(前年比;-1.4点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)-76.5%

(1) 95.1%
-8+62÷9
=-8+36÷9
=-8+4
=-4

(2) 77.3%
(7a+b)/5-(4a-b)/3
={3(7a+b)-5(4a-b)}/15
=(21a+3b-20a+5b)/15
=(a+
8b)/15

(3) 73.6%
(√6-1)(2√6+9)
=12+9√6-2√6-9
=3+7√6

(4) 90.4%
4(x+8)=7x+5
4x+32=7x+5
3x=27
x=9

(5) 87.6%
2x+3y=1 …①
8x+9y=7 …②
②-①×3で、2x=4
x=2
①に代入して、2×2+3y=1
y=-1
x=2、y=-1

(6) 72.2%
2x2-3x-6=0
解の公式を適用して、x=(3±√57)/4

(7) 71.2%
6個から2個を選ぶ→62=15通り
青は4個。1~青4から2個を選ぶ4=6通り
確率は、6/15=2/5
あ…2、い…5

(8) 66.1%

弧DCの円周角、∠DAC=30°
弧ADの円周角、∠DBA=x
直径に対する円周角、∠ADB=90°
△ABDの内角より、x=180-(90+30+20)=40°
う…4、え…0
*50°の誤答が多かった。二等辺三角形と誤認したか。

(9) 54.7%

Oを通る直線ℓの垂線を引き、ℓの反対側がPになる。
*誤答では、解答用紙記載の直線ℓを線分とみなして垂直二等分線を作図する者が多かった。


大問2(式の証明)-26.8%

(1) 31.7%!

ABとFGの長さを均すとPQになる
PQ=(a+b)/2cm
正方形PQRSの周の長さℓ=(a+b)/2×4=2a+2bcm

(2) 21.9%!(無答55.3%)

OAとOBの平均がOM→OM=(a+b)/2
ℓの長さを求める。半径(a+b)/2cmの4分の1円の弧だから、
ℓ=(a+b)/2×2×π×1/4=1/4π(a+b)

導出したい式は【S=(a-b)ℓ】
右辺のℓに先ほどの値を代入する。
(a-b)ℓ=(a-b)×1/4π(a+b)
=1/4π(a+b)(a-b)…①

左辺のS(面積)を図から求める。
半径acmの4分の1円から、半径bcmの4分の1円を引く。
S=1/4πa2-1/4πb2
=1/4π(a2-b2
=1/4π(a+b)(a-b)…②
①=②より、S=(a-b)ℓ
*扇形の面積は文字で立式できても、弧の長さを求める際に半径の立式ができなかった可能性あり。

大問3(関数)-42.1%

(1) 73.7%
Pはy=1/2x+1上の点。これにy=-1を代入する。
-1=1/2x+1
x=-4

(2) 38.6%

y=1/2x+1にx=0を代入→B(-2、0)
BPの中点は、y=1/2x+1の切片(0、1)である
Bから右に2、上に1移動して切片。さらに右に2、上に1移動してP(2、2)
P(2、2)→A(3、-2)
右に1、下に4移動するから、mの傾きは-4。
Pから左に2、上に8移動して、mの切片は2+8=10
m;y=-4x+10
①…イ、②…エ

(3) 13.8%!(誤答42.9%、無答43.3%)

PとQはy軸について線対称。
PQの中点をMとするとMはy軸上にある。
QM=MPより、△BMQと△BPMの面積は等しい。
△BPQの面積が△APBの2倍→3つの★の面積が等しい

Aを通る直線ℓに平行な線をひき、x軸との交点をA’とする。
傾きは1/2だから、Aから上に2、右に4移動してA’(7、0)
△BPMと△PBA’は等積でMP//BA’から高さ共通。
底辺共通でMP=BA’=7-(-2)=9
Pのx座標は9。


大問4(平面図形)-40.9%

(1) 59.8%

仮定からAB=DC
四角形AQCDに注目すると、2組の対辺が平行だから平行四辺形
対辺は等しく、AQ=DC(図の水色が同じ長さ)

∠AQB=180-110=70°
△ABQは二等辺三角形。その底角と錯角で70°を移動させる。
最後に△APDで外角定理→∠ADP=70-a°

(2)① 61.4%
△ASD∽△CSQの証明。

わかりやすい。
対頂角+AD//BCの錯角→2角相等で∽。

② 1.7%!!(誤答71.3%、無答27.0%)

ここも〔問2〕でまとまっているので、前問の相似を疑う。
△ASD∽△CSQから、DS:SQ=2:3
RS//PQより△DRS∽△DPQで、RS:PQ=DS:DQ=

今度は逆方向から相似を捉える
PQ//ACから△BQP∽△BCA
BQ:QC=BP:PA=1
:3より、BQ=
AC=PQ×4=×4=

比を整理すると、RS:AC=10
△DRSの面積をとすると、△DAC=
上底AD:下底BC=
から、台形ABCDは×/
したがって、△DRSは台形ABCDの1/30倍。
お…1、か…3、き…0

@別解@

DS:SQ=2:3、BQ=は先と同様。
面積比は相似比の2乗→△DRS:△DPQ=22:52

Dを通るACに平行な線をひき、BCの延長線との交点をEとする
等積変形で△ACD=△ACE
台形ABCDの面積は△ABEに相当する。
また、等積変形で△DPQ=△EPQ=
平行四辺形ACEDの対辺は等しく、CE=
BQ:QE=
から、△PBE=
PB:AB=
から、△ABE(台形ABCD)=〇120
したがって、△DRSは台形ABCDの/〇120=1/30倍

大問5(空間図形)-7.8%

(1) 12.5%!(誤答70.8%、無答16.8%)
PはAB上にある。

最短距離なので、展開図を作成する。
PはA→B→C、QはC→D→Aを毎秒1cmで移動する。

MP+MQが最短となるのは、PQが直線になるとき
PとQは対称的に動くので、2つの三角形は合同である。

正三角形ABCの1つの内角より、∠MAP=60°
MはACの中点でAM=3cm
△APMの内角から辺の比は1:2:√3→AP=3/2cm
Pの速さは毎秒1cmなので3/2秒後。
く…3、け…2

@別解@

Cを通るABの垂線の足をHとする。
HはABの中点だから、AH=3cm
この距離をPとQが同じ速さで移動するので、AP=3÷2=3/2cm
(AH上で仮にPはAから、QはHから出発したとすると、出会うのはAHの中点)

(2) 3.2%!!(誤答66.8%、無答30.0%)
体積比ではなく体積なので、1辺6cmの正四面体の体積を算出する(´Д`||)

↑こうなる。
Aからおろした垂線の足であるHは正三角形BCDの重心であり、中線を2:1に内分する
△ABHで三平方→高さAH=2√6cm
正四面体の体積は、6×3√3÷2×2√6÷3=18√2cm3

@余談@
実は、一発で正四面体の体積を出す公式がある。

1辺がaの四面体の体積…V=√2/12a3

1辺6cmだと、V=√2/12×63=18√2cm3
これを知っているか否かで時間短縮が半端ない。。
理由は1辺をaとして地道に三平方で導出します。
詳しい説明は以下のリンク先からどうぞ。
数学切り抜き帳

また、正四面体はこのように立方体に収納することができる。
正四面体の1辺は正方形の対角線。1:1:√2から立方体の1辺は3√2cm。
立方体から4つの三角錐をひけば、真ん中の正四面体になる
三角錐の底面積は正方形の1/2倍。錘の体積は柱の1/3倍。
立方体の体積を⑥とすると、1つの三角錐の体積は⑥×1/2×1/3=①
正四面体の体積は、⑥-①×4=②
よって、(3√2)3×②/⑥=18√2cm2
@余談終わり@

全体の体積が18√2cm3として体積比を求める。
立体P―AMQで捉える。
底面積の比は、全体:求める立体=△ACD:△AMQ
隣辺比で、(3×4)/(6×6)=1/3倍
高さの比は、全体:求める立体=BC:PC→4/6=2/3倍
したがって、求積すべき立体の体積は、18√2×1/3×2/3=4√2cm3
こ…4、さ…2


大問1
(7)青4個をそれぞれ区別して考える。
(8)円周角の定理で角を移動させる。
(9)直線ℓから最も遠い→円Oの左側にPがある。
大問2
(1)条件の読解にあまり時間をかけたくない。情報を図に記そう。
(2)都立独特の記述だが、過去問の踏襲。
大問3
(2)BPの中点がy軸上にある→それは直線ℓの切片。
(3)例年、求めたいx座標を文字に置き換えるパターンだったが、
今回は等積変形だけでいけた。四角形MBA’Pは平行四辺形である。
大問4
(1)等辺に印をつけてみよう。
(2)②逆方向に流れる∽。
①の相似の利用を踏まえ、求めにくい△DRSと相似であるのは△DPQ。
RS→PQ→ACと折り返す。
もしくは、等積変形で△DPQを下におろしてしまう。
大問5
(1)2点の動きを正確に捉える。直線PQはABとCDの距離。
(2)正四面体の公式を暗記しておくのが無難かもしれない。。
求めるべき立体の底面を△AMQにすると、高さの比はPCになる。

@2023年度・都立解説@
数学(分割後期) 社会…平均55.6点 理科…平均59.4点 英語…平均62.8点
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QUIZ…☆4以上はムズいよ!
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