2025年度　京都府公立高校入試問題過去問・前期【数学】解説

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大問１（小問集合）

（１）
１－８²÷（４/３）²
＝１－64÷16/９
＝１－36
＝－35

（２）
18（１/６ｘ＋７/９）－４（５－ｘ）
＝３ｘ＋14－20＋４ｘ
＝７ｘ－６

（３）
（２√７＋２）（２√７－２）
＝28－４
＝24

（４）
絶対値…数直線上で原点０からの距離。
－７/２＝－3.5と小数に統一しておく。
０ → －2.9 → ３ → －3.5
エ→ウ→ア→イ

（５）
５ｘ－３ｙ＝３ｘ＋７＝－５ｙ＋８
５ｘ－３ｙ＝３ｘ＋７
２ｘ－３ｙ＝７　…①
３ｘ＋７＝－５ｙ＋８
３ｘ＋５ｙ＝１　…②

①×３－②×２をすると、－19ｙ＝19
ｙ＝－１
①に代入、ｘ＝２
ｘ＝２、ｙ＝－１

（６）
ｎ角形の内角の和→180（ｎ－２）
180（ｎ－２）＝5040
ｎ＝30
正30角形の内角の１つは、5040÷30＝168°

（７）
ｘ²－（ａ＋２）ｘ＋２ａ＋５＝０
ｘ＝－３を代入。
９＋３ａ＋６＋２ａ＋５＝０
５ａ＝－20
ａ＝－４

もとの式にａ＝－４を代入する。
ｘ²＋２ｘ－８＋５
＝ｘ²＋２ｘ－３
＝（ｘ＋３）（ｘ－１）＝０
もう１つの解はｘ＝１
ａ＝－４、もう１つの解…ｘ＝１

（８）

ａ＞０だからグラフは下に凸。ｘの変域から原点Ｏを通過しない。
ｘ＝ｐ（ｐ＜０）のとき、ｙ＝１

ｙ＝９ｘ²に（ｘ、ｙ）＝（ｐ、１）を代入。
１＝９ｐ²
ｐ²＝１/９
ｐ＜０だから、ｐ＝－１/３

（９）

累積度数…その階級までの度数の合計。
差をとって各階級の度数を求める。
最頻値は20～30分の階級値である25分

大問２（確率）

（１）
16の約数で場合分け。
●１…（１、１）
●２…（１、２）（２、１）
●４…（１、４）（４、１）（２、２）
●８…（２、４）（４、２）
●16…（４、４）
計９通り
全体は６×６＝36通りだから、確率は９/36＝１/４

（２）
最大公約数の求め方を描いてみる。

〇が最大公約数。
〇は30の約数のうち10以上だから、〇＝10、15、30
ａも〇で割り切れるから（ａ÷〇＝△）、10の倍数（30の倍数）か15の倍数である。
●ａ＝10…（２、５）（５、２）
●ａ＝15…（３、５）（５、３）
●ａ＝20…（４、５）（５、４）
●ａ＝30…（５、６）（６、５）
計８通りだから、確率は８/36＝２/９

大問３（関数）

（１）
ｙ＝－15/ｘにｘ＝５を代入→Ａ（５、－３）
これをｙ＝ａｘ²に代入。
－３＝25ａ
ａ＝－３/25

（２）
ｙ＝－３/25ｘ²にｘ＝－10を代入→Ｂ（－10、－12）
Ｂ（－10、－12）→Ａ（５、－３）
右に15、上に９だから、傾きは９/15＝３/５
Ｂから右に10、上に10×３/５＝６移動して、切片は－12＋６＝－６
ｙ＝３/５ｘ－６

（３）

ｙ＝３/５ｘ－６にｙ＝０を代入Ｃ（10、０）
回転体は大きな円錐から小さな円錐２つをひいた立体になる。
ＢＣの切片をＤとすると、ＡはＤＣの中点である。

下の円錐（△ＤＡＥ）の体積を①とする。
体積比は相似比の３乗だから、全体の円錐（△ＤＣＦ）の体積は⑧
真ん中の円錐（△ＯＡＥ）はＥＡを軸として下の円錐と対称的だから①
求積すべき立体の体積は、10×10×π×６÷３×⑥/⑧＝150π

＠別解＠

【パップス・ギュルダンの定理；回転体の体積＝断面積×重心の移動距離】
断面積…△ＯＡＣ＝10×３÷２＝15
重心の距離…△ＯＡＣは二等辺だから、重心はＡの真上にある。５×２×π＝10π
回転体の体積は、15×10＝150π

大問４（空間図形）

（１）

Ｇは正六角形の対角線の交点＝正六角形の中心
ＯはＧの真上。∠ＯＧＡ＝90°
ＯＧ＝ＡＧから、△ＯＡＧは直角二等辺。
辺の比は１：１：√２だから、ＯＧ＝14√２×１/√２＝14ｃｍ
＠＠
ＯＨ＝14×３/７＝６ｃｍ
△ＯＤＧも直角二等辺→∠ＡＯＤ＝45＋45＝90°
ＯＤ//ＩＨより、同位角で、∠ＡＩＨ＝90°
△ＯＡＧと△ＯＨＩは直角と共通角より２角相等で∽。
△ＯＨＩも直角二等辺なので、ＨＩ＝６×１/√２＝３√２ｃｍ

（２）

ＨＩ＝14√２－３√２＝11√２ｃｍ
留意点は∠ＨＩＡ＝90°に引っ張られて、底面△ＩＡＢ、高さＨＩにしないこと！
ＨＩ⊥ＯＡだが、Ｈから面ＯＡＢに下ろした垂線は二等辺ＯＡＢの真ん中の線を通る。
底面を△ＡＩＨで捉える。
△ＡＢＧは正六角形の６分の１で正三角形。
ＢからＡＧに垂線を下した足をＪとすると、三角錐Ｂ―ＡＩＨの高さはＢＪにあたる。（面ＯＡＧ⊥ＢＪ）
△ＡＢＪは１：２：√３の直角三角形→ＢＪ＝７√３
求積すべき立体の体積は、11√２×３√２÷２×７√３÷３＝77√３ｃｍ³

大問５（平面図形）

（１）
△ＡＢＦ∽△ＦＥＯの証明。

半円の弧に対する円周角で、∠ＡＦＢ＝90°
∠ＡＦＢ＝∠ＦＯＥ
半径よりＯＡ＝ＯＦだから、△ＯＡＦは二等辺。
∠ＢＡＦ＝∠ＥＦＯ
２角相等より∽。

（２）

Ｅが弦ＯＤの中点である→ＣＧ⊥ＯＤ
（ＯＥ＝ＤＥ、半径ＣＯ＝ＣＤ、共通辺ＣＥ→３辺が等しいので△ＣＯＥ≡△ＣＤＥ）

∠ＯＥＣ＝∠ＥＯＦ＝90°で錯角が等しい→ＣＥ//ＯＦ
同位角より、∠ＡＥＣ＝●
△ＡＣＥは二等辺→ＣＥ＝３ｃｍ

△ＣＥＯは３：４：５の直角三角形→ＥＯ＝４ｃｍ
ＥＯ：ＯＦ＝４：８＝①：②
△ＥＯＦの辺の比で三平方→ＥＦ＝〇√５
前問の△ＡＢＦ∽△ＦＥＯより、ＡＢ：ＢＦ＝〇√５：①だから、
ＢＦ＝16×①/〇√５＝16√５/５ｃｍ

（３）

△ＢＥＦと△ＧＥＦに分ける。
先ほどの△ＥＯＦの辺の比から、ＥＦ＝４√５ｃｍ
△ＢＥＦ…底辺ＥＦ・高さＢＦ
△ＧＥＦ…底辺ＧＥ・高さＯＥ
４√５×16√５/５÷２＋２×４÷２
＝32＋４
＝36ｃｍ²

大問６（規則）

（１）

10秒周期でみていくが、留意点は１秒後の処理。
初期状態は全部オフ。
Ａの１周目【２秒後●→４秒後〇→５秒後●】だが、11秒後に〇が入る。
２周目以降【11秒後〇→12秒後●→14秒後〇→15秒後●】
Ｂの１周目【１秒後●→５秒後〇→７秒後●】だが、11秒後に●が入らない。
２周目以降【15秒後〇→17秒後●】

22秒÷10＝２周…２秒
Ｄの●
【２秒後●→５秒後●→８秒後●】が２周目以降も続く。
１周３個、余り２秒に１個だから、３×２＋１＝７回
＠＠
Ｅの〇
Ｅの１周目【３秒後〇→７秒後〇→９秒後〇】
２周目以降は【11秒後〇→13秒後〇→17秒後〇→19秒後〇】
余りの２秒に１個あるので、３＋４＋１＝８回

（２）

〇の数をまとめる。
500÷10＝50周
〇が100回未満になる＝１周あたりの平均が２個未満。
Ｇはすべて〇２個→平均２個だから、合計は２×50周＝100個になる。
Ａは１周だけ〇１個だから平均２個未満→合計100未満になる。
このように考えれば、100回未満はＡ・Ｂ・Ｃ・Ｆ

（３）

Ａ～Ｄの●、Ｅ～Ｇの〇をまとめる。
（10ｎ－２）秒後と中途半端なので、２秒足して10ｎ秒後（ｎ周）にする。
表の９～10秒後のＥ〇、Ｇ〇を追加して合計回数は686回。
Ａ～Ｄの●１周目…９個、２周目以降…７個ずつ
Ｅ～Ｇの〇１周目…５個、２周目以降…７個ずつ
２周目以降は１周目を除いて（ｎ－１）周。
９＋７（ｎ－１）＋５＋７（ｎ－１）＝686
14（ｎ－１）＝672
ｎ－１＝48
ｎ＝49

＠別解＠

１周目を２周目以降と同じ個数に合わせてもできる。
Ｂで－１個、Ｃで－１個、Ｅで＋１個、Ｆで＋１個。
686－１－１＋１＋１＝686
１周14個（●７個〇７個）がｎ周だから、14ｎ＝686
ｎ＝49

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