2024年度 埼玉県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
5x-3x
=2x

(2)
2×(-4)-1
=-8-1
=-9

(3)
6x2y×12y÷4x
=18xy2

(4)
5x-7=6x-3
x=-4

(5)
√12+√3
=2√3+√3
=3√3

(6)
2-x-72
(x-9)(x+8)

(7)
6x-y=10 …①
4x+3y=-8 …②
①×3+②をすると、22x=22
x=1
①に代入、6×1-y=10
y=-4
x=1、y=-4

(8)
2x2+7x+1=0
解の公式を適用して、x=(-7±√41)/4

(9)
傾きが2だから、(-3、-2)から右に3、上に6移動して、
切片は-2+6=4
y=2x+4

(10)

円周角の大きさは弧の長さに比例する
弧ABは弧1つ分。∠AHB=①とすると、
弧3つ分(弧BE=弧EH=弧HA)に対する円周角である、
∠BHE=∠EAH=∠HEA=③

△KEHで外角定理→x=③+③=⑥
△ABHの内角より⑩=180°だから、x=180×⑥/⑩=108°

(11)

BCとEFを延長、交点をGとする。
△DEFの面積を①とする。
△DEF∽CGFより、DF:CF=1:1だから△CGF=①

BC:CG=2:1より、△FBC=②

EF=FGより、△EBF=△FBG=③
△EBFの面積は△DEFの3倍。

(12)
ア:20人の中央値は10番目と11番目の平均。12~16冊の階級に含まれる。×
イ:8~12冊の度数が4。相対度数は、4/20=0.20×
ウ:最頻値(モード)は最も現れている値で、12~16冊の階級値である14。×
エ:累積相対度数は、その階級以下の相対度数の合計。
12~16冊の累積相対度数=1-16~20冊の相対度数
16~20冊の相対度数は、3/20=0.15
12~16冊の累積相対度数は、1-0.15=0.85〇

(13)
全体は、6×6=36通り
1~6を用いる2桁の整数で7の倍数は、【14、21、35、42、56、63】の6通り。
確率は、6/36=1/6

(14)

回転体はトイレットペーパーになる。
体積は、(6×6×π-2×2×π)×6=192πcm3

@余談@
回転体の体積には面白い定理がある。

パップス・ギュルダンの定理;回転体の体積=断面積×重心の移動距離
断面積は長方形ABCD。
その重心Gは対角線の交点で、軸との距離は4cmである。
(4×6)×4×2×π=192πcm3

(15)

影1つの面積
は正三角形の1/4。
影1つを①とすると、上図のようになる。

白…両サイドが③、あいだのx-2個が②→③×2+②×(x-2)=2x+2
影…あいだのx-1個が①ずつ→x-1
2x+2:x-1=5:2
内項と外項の積より、5(x-1)=2(2x+2)
5x-5=4x+4
x=9

(16)

最小値と最大値は同じなのに、期間①より期間②の方が開花日が早い理由を記述する。
端的に『第1四分位数(Q1)と第3四分位数(Q3)がともに期間②の方が早い』で良い。
箱の区間は全データの真ん中に集まる約50%で、全体的に期間②の方が早い。


大問2(平面図形)

(1)

①AB//PC、∠ABC=90°から、PはCを通る垂線上にある。
②AB:PC=2:1から、PはABの垂直二等分線上でもある。
①と②の交点がP。

(2)
△ACD≡△AGBの証明。

正方形の辺からAC=AG、AD=AB
∠CAB=∠CAB+90°=∠GAB
2辺とあいだの角が等しいので合同。

大問3(関数)

(1)
y=xにx=tを代入→Qのy座標はt
y=1/3x2にx=tを代入→Rのy座標は1/3t2
ア…t、イ…1/3t2

(2)

0<t<3のときは上から順にQ・R・Pだが、
3<t≦5のときはR・Q・Pになる。
つまり、3を過ぎるとQとRが逆転してPRが最も長くなるので
PQ:PR=4:3は成り立たない。
『Rのy座標がQのy座標より大きくなるから』

(3)

0<t<3の場合、t:1/3t2=4:3
内項と外項の積で、4/3t2=3t
4t2=9t
4t2-9t
=t(4t-9)=0
0<t<3より、t=9/4

3<t≦5の場合、t:1/3t2=4:5
内項と外項の積で、4/3t2=5t
4t2=15t
4t2-15t
t(4t-15)=0
3<t≦5より、t=15/4
x=9/4、15/4


大問4(平面図形)

(1)

△AEFの内角において、∠AFE=、∠FAE=×とする。
×=90°で、内角が×―90°であれば、AE:EF=2:1の比が使える
水面の左端をJとする。
AF⊥JBだから∠AIJ=90°→△AJIにおいて、∠AJI=

∠JAB=90°
△BAJは内角が×―90°なので、BA:AJ=2:1→AJ=6÷2=3cm
EJ=12-3=9cm
水の体積は、(9+12)×6÷2×6=378cm3

(2)

●×の角度調査を続ける。
∠ABF=90°だから∠IBF=
求めたいFIを1辺とする△FIBも2:1が使える

最も短いJIの長さを①とする。
△AIJの辺の比から、AI=①×2=②
△BIAで、BI=②×2=④
△FIBで、FI=④×2=⑧

△BAJで三平方→JB=3√5cm
FI=3√5×⑧/⑤=24√5/5cm


大問1
ここだけで配点が65点!
(9)までは取る。36点get
(10)△AEHの内角は弧の長さの比で案分できる。
(11)外側延長で面積比を移していく。
隣辺比で△EBFの周りの3つの三角形を控除してもいい。
(12)終わりに近いので、余事象にように求める。
(15)差が出る。各々の面積比を出しておく。
影の部分は正三角形の-1個だが、あいだの白は-2個である点に注意。
(16)期間②の箱は期間①より左側にある。指定ワードをそのまま使う。
大問2
(1)先にどんな台形になるかイメージしよう。PはCの真上、Aの右側にある。
(2)問題集によくある形。Aを中心に回転移動させると重なる。
大問3
(1)誘導に従う。
(2)PQ:PR=4:3はPQ>PR。
3を超すとQとRの位置が変わり、PQ<PRとなる。
(3)拡大図を書いて整理しておこう。内項外項の積で計算する。
大問4
(1)正面からみた図で、水の台形の面積を求める。
(2)辺の比が1:2の直角三角形を見つける。
2倍していくと、十字の部分を
すべて比で表すことができる。
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