2024年度 大阪府公立高校入試B問題過去問【数学】解説

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2024大阪(数学)A問題の解説はコチラ。

大問1(計算)

(1)
(-1)2-2×3
=1-6
=-5

(2)
3(x-9y)+4(x+7y)
=3x-27y+4x+28y
=7x+y

(3)
2b×6a2÷(-4a)
=-3ab

(4)
(x+3)(x-3)-x(x-2)
=x2-9-x2+2x
=2x-9

(5)
(√7+2√2)2
=7+4√14+8
=15+4√14

大問2(小問集合)

(1)
8a+b2
=8×(-3)+42
=-24+16
=-8

(2)
a<0、b>0
迷ったら適当な値を代入して、反例を挙げればいい。
ア:ab=(-1)×1=-1×
イ:a+b=-2+1=-1×
ウ:-a+b=-
(-1)+1=2〇
-aは正。正+正だから必ず正になる。
エ:a-b=-2-1=-3×

(3)
2-7x+5=0
解の公式を適用して、x=(7±√29)/2

(4)
√(44n)=2√(11n)
これが自然数となる最小のn=11

(5)
取り出した2枚をC・Dとする。
a=C+D
b=C×D
b-a=C×D-(C+D)=偶数

差が偶数となるのは、(奇数-奇数)(偶数-偶数)のいずれか
つまり、(C×D、C+D)=(奇数、奇数)(偶数、偶数)
●積和が(奇数、奇数)
C×D=奇数となるのは、CとDがともに奇数。
しかし、ともに奇数だとC+D=奇数+奇数=偶数となり不適。
●積和が(偶数、偶数)
C×D=偶数は、(C、D)=(奇、偶)(偶、奇)(偶、偶)
このうち、C+Dも偶数になるのは(C、D)=(偶、偶)しかない。
つまり、条件を満たすC、Dの組み合わせは2枚とも偶数である場合である。
偶数3枚から2枚選ぶ→選ばない1枚を選ぶ→3通り
全体は5枚から2枚選ぶ→52=10通りだから、確率は
3/10

(6)

直径ACに対する円周角から、∠ADC=90°
弧ABに対する円周角から、∠ADB=a
∠BDC=90-a

(7)
抽出した30個のうち、赤:青=26:4=⑬:②
青は全部で80個なので、赤は80×⑬/②=520個

(8)
答案では途中に式を含めた求め方も説明する。

各座標をtで用いて示すとこうなる。
AB=7/4t2
BCの長さは-2t-1ではない点に注意
BC=0-(-2t-1)=2t+1

BC=AB+1
2t+1=7/4t2+1
7/4t2-2t=0 ←4倍
7t2-8t
=t(7t-8)=0
t>0より、t=
8/7


大問3(数量変化)

(1)①
a=15の場合、初項が90、等差90+15=105の数列。
x=4のとき、y=90+105×(4-1)=405
x=7のとき、y=90+105×(7-1)=720
ア…405、イ…720


105ずつ増加→変化の割合(傾き)は105
(1、90)から左に1、下に105移動して、切片は90-105=-15
y=105x-15


先の式にy=2085を代入する。
2085=105x-15
x=20

(2)
21枚の垂れ幕の長さは、90×21=1890cm
間隔の合計は、2130-1890=240cm
間隔は20ヵ所あるので、a=240÷20=12

大問4(図形)

Ⅰ(1)
△GAF∽△FBCの証明。

∠GAF=∠FBC=90°
∠AFG=180-∠GFC-∠CFB=90-∠CFB(×
△FBCの内角より、∠BCF=180-∠FBC-∠CFB=90-∠CFB(×
∠AFG=∠BCF(
2角が等しいので∽。

(2)①

AF=9-3=6cm
前問の△GAF∽△FBCを使う
GA:AF=FB:BC=3:9=①:③
AG=6×①/③=2cm
△GAFで三平方→GF=2√10cm



△GAF∽△FBCの斜辺であるGF:FC=②:③とする
仮定よりEF:FC=5:3なので、EF=⑤
EG=⑤-②=③

△EGH∽△EFCより、EG:GH=EF:FC=5:3だから、
GH=③×3/5=〇9/5

HI=GI-GH
GIを斜辺とする△IDGに着目する
GI//FCの同位角でEF⊥IG→∠IGF=90°
●+×=90°で等角を移していくと、2角相等で△GAF∽△IDG
GD=9-2=7cm
GI=②×7/6=〇7/3

HI=〇7/3-〇9/5=〇8/15
GF:HI=②:〇8/15=15:4
HIの長さは、2√10×4/15=8√10/15cm

@別解@
他にも方法がないか調べてみました。

長方形GFCJをつくる。
長方形の対辺は等しいので、JC=②
△EFC∽△CJHより、EF:FC=CJ:JH=5:3
HJ=②×3/5=〇6/5

JからDCに垂線をおろし、交点をKとする。
△GAF≡△JKC(斜辺GFをJCに平行移動するイメージ)
KJ=AG=2cm
●+×=90°で等角を調べていくと、2角相等で△GAF∽△IKJ
IJ=②×2/6=〇2/3
HI=〇6/5-〇2/3=〇8/15
GF:HI=②:〇8/15=15:4
HIの長さは、2√10×4/15=8√10/15cm

Ⅱ(3)

ねじれの位置→延長しても交わらない、かつ平行でもない。
辺ABとネジレなのは辺EFと辺CF。
ウ・エ

(4)①

△ABCは二等辺三角形。
縦に分割して三平方を使うと、高さは√21cm
△ABCの面積は、4×√21÷2=2√21cm2



三角錐D―ABCの体積は、2√21×6÷3=4√21cm3

三角錐A―DBC:三角錐A―DGH=△DBC:△DGH=42:32=⑯:⑨
三角錐A―DGHの体積は、4√21×⑨/⑯=9√21/4cm3


大問1
配点15点。すべて死守。
大問2
(2)文字で考えてみる→それでも迷ったら具体的な代入がいいかな。
(4)√44=2√11に変え、√11の根号をなくすには何をかければいいか。
(5)差が出やすい。2数の積-2数の和=偶数となる2数を偶奇判定で絞る。
(7)抽出した30個から赤:青の比を求め、青全部が80個だから赤全部も出る。
(8)BCの長さの符号を注意しよう。
大問3
題材はA問題と共通。内容も解きやすい。
(2)算数で解ける。
大問4
Ⅰ(2)①前問の∽とGFの長さから、GF:HIの比を出せないか。
対応する辺の比はGF:FC=②:③とおくと、EG=③まで整数比になる。
EG→GHとつながれば、GIに目がいきやすいと思う。
GIを1辺とする△IDGも●+×=90°で相似を指摘できる。
Ⅱ(4)②平面より空間の方がやりやすかった。
底面積の比で大きい三角錐の体積を案分する。
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