2020年度 慶應義塾志木高校過去問【数学】大問1解説

(1)
Tokyo2020の9文字を1列に並べる。
T、k、yがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

(2)
18×19×20×21+1=m2を満たす正の整数mを求めよ。


@解説@
(1)
T、k、y以外の6文字『oo2020』の並び方を計算する。
重複に気をつけて、(6×5×4×3×2×1)/(2×1×2×1×2×1)=90通り

9マスの中から6マスを選んで先ほどの6文字を埋める。
残りの3マスは左から自動的に「T・k・y」となるので計算不要。
9693=84通り
したがって、90×84=7560通り

(2)
18×19×20×21+1=m2
連続する4つの整数の積に+1がくっついている。
この+1を移項すると・・・
18×19×20×21=m2-1=(m+1)(m-1)

ここから悩ましい(´~`)
左辺のように右辺も和と差の積に持ち込めることはできるが、右辺を活用しにくい…。
そこで、整数の証明にでてくる文字式の考えを使う。
18=xとおくと、連続する整数だから19=x
+1、20=x+2、21=x+3。
x(x+1)(x+2)(x+3)=(m+1)(m-1)

ここで右辺の(m+1)と(m-1)の差が2であることに注目して、
左辺も差が2となる2数の積で表す
(x+1)(x+2)×x(x+3)
=(x2+3x+2)(x2+3x)=(m+1)(m-1)
(x2+3x+2)と(x2+3x)の差が2なので、右辺との関係性を示すと、
m+1=x2+3x+2
m-1=x2+3x
x=18だから、
m-1=182+3×18
m=379

@@
算数大好きさん(@kimagure_mana)より素敵な解法を頂きました(*´д`艸)

18=αとすると,
α×(α+1)×(α+2)×(α+3)+1
=α(α+3)(α+1)(α+2)+1
=(α²+3α)(α²+3α+2)+1
=(α²+3α)²+2(α²+3α)+1 ←計算が苦手な人は(α2+3α)を別の文字に置き換えてみよう
=(α²+3α+1)²=m²
m=18²+3×18+1=379・・・(答)

左辺の因数分解で全部お片づけできましたね(´゚д゚`)
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