2020年度　慶應義塾志木高校過去問【数学】大問１解説

問題ＰＤＦ
（１）
Ｔｏｋｙｏ２０２０の９文字を１列に並べる。
Ｔ、ｋ、ｙがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

（２）
18×19×20×21＋１＝ｍ²を満たす正の整数ｍを求めよ。

＠解説＠
（１）
Ｔ、ｋ、ｙ以外の６文字『ｏｏ２０２０』の並び方を計算する。
重複に気をつけて、（６×５×４×３×２×１）/（２×１×２×１×２×１）＝90通り

９マスの中から６マスを選んで先ほどの６文字を埋める。
残りの３マスは左から自動的に「Ｔ・ｋ・ｙ」となるので計算は不要。
₉Ｃ₆＝₉Ｃ₃＝84通り
したがって、90×84＝7560通り

（２）
《18×19×20×21＋１＝ｍ²》
連続する４つの整数の積に＋１がくっついている。
この＋１を移項すると、
18×19×20×21＝ｍ²－１＝（ｍ＋１）（ｍ－１）

ここから悩ましい(´～`)
左辺のように右辺も和と差の積に持ち込めることはできるが、右辺を活用しにくい。
そこで、整数の証明にでてくる文字式の考えを使う。
18＝ｘとおくと、連続する整数だから19＝ｘ＋１、20＝ｘ＋２、21＝ｘ＋３
ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝（ｍ＋１）（ｍ－１）

ここで右辺の（ｍ＋１）と（ｍ－１）の差が２であることに注目して、
左辺も差が２となる２数の積で表す。
（ｘ＋１）（ｘ＋２）×ｘ（ｘ＋３）
＝（ｘ²＋３ｘ＋２）（ｘ²＋３ｘ）＝（ｍ＋１）（ｍ－１）
（ｘ²＋３ｘ＋２）と（ｘ²＋３ｘ）の差が２なので、右辺との関係性を示すと、
ｍ＋１＝ｘ²＋３ｘ＋２
ｍ－１＝ｘ²＋３ｘ
ｘ＝18だから、
ｍ－１＝18²＋３×18
ｍ＝379

＠＠
算数大好きさん（@kimagure_mana）より素敵な解法を頂きました。

18＝αとすると，
α×(α＋1)×(α＋2)×(α＋3)＋1
＝α(α＋3)(α＋1)(α＋2)＋1
＝(α²＋3α)(α²＋3α＋2)＋1
＝(α²＋3α)²＋2(α²＋3α)＋1
＝(α²＋3α＋1)²＝m²
m＝18²＋3×18＋1＝379・・・(答)
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