2022年度 豊島岡女子学園中学2回目過去問【算数】大問6解説

下の図のような直方体ABCD―EFGHがあり、直線DGの長さは25/4cmです。

(1)
面ABCDを辺BCの周りに1回転させるとき、
面ABCDが通る部分の体積は何cm3ですか。

(2)
直方体を3点A、D、Fを通る平面で切った切り口を辺BCの周りに1回転させるとき、
切り口が通る部分の体積は何cm3ですか。

(3)
直方体を3点A、C、Fを通る平面で切った切り口を辺BCの周りに1回転させるとき、
切り口が通る部分の体積は何cm3ですか。


(1)

円柱。
5×5×3.14×3=
235.5cm3

(2)
ややこしいが難関中では出題される。

3点A、D、Fを通る平面で切ると、断面は長方形AFGDである。
これをBCを軸として1回転させると、高さ3cmのドーナツ円柱になる。

底面積が知りたい。点BとAFの関係に注目する
ドーナツの外径は、Bから最も遠いAとの距離5cm。
ドーナツの内径は、BとAFとの最短距離
すなわち、BからAFに垂線をおろし、交点をIとするとBIである。

×=90°でおなじみの
角度調査。
直角三角形AFBとABIとBFIはすべて相似

ここで、AB:BFに注目すると、5:15/4=4:3!
斜辺以外の比が3:4だから、直角三角形の辺の比はいずれも3:4:5である
△ABIの辺の比より、BI=3cm
したがって、求積すべき立体の体積は、
(5×5-3×3)×3.14×3=48×3.14
=150.72cm3

(3)

3点A、C、Fを通る平面で切り、BCを軸として回転させると、
大きい三角錐から中にある小さい三角錐(空洞部分)をひいた立体になる。

これに(2)のドーナツ円柱を重ねてみると共通部分はだいぶ少ないが、
底面積は同じドーナツで、高さも3cmで等しい
ということは、柱÷3=錘が使える
(*ドーナツ柱÷3=ドーナツ錐)
したがって、150.72÷3=50.24cm3
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