2022年度　豊島岡女子学園中学２回目過去問【算数】大問６解説

問題ＰＤＦ
下の図のような直方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨがあり、直線ＤＧの長さは25/４ｃｍです。

（１）
面ＡＢＣＤを辺ＢＣの周りに１回転させるとき、
面ＡＢＣＤが通る部分の体積は何ｃｍ³ですか。

（２）
直方体を３点Ａ、Ｄ、Ｆを通る平面で切った切り口を辺ＢＣの周りに１回転させるとき、
切り口が通る部分の体積は何ｃｍ³ですか。

（３）
直方体を３点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面で切った切り口を辺ＢＣの周りに１回転させるとき、
切り口が通る部分の体積は何ｃｍ³ですか。

＠解説＠
（１）

円柱。
５×５×3.14×３＝

（２）

３点Ａ、Ｄ、Ｆを通る平面で切ると、断面は長方形ＡＦＧＤである。
これをＢＣを軸として１回転させると、高さ３ｃｍのドーナツ円柱になる。

底面積が知りたい。点ＢとＡＦの関係に注目する。
ドーナツの外径は、Ｂから最も遠いＡとの距離５ｃｍ。
ドーナツの内径は、ＢとＡＦとの最短距離、
すなわち、ＢからＡＦに垂線をおろし、交点をＩとするとＢＩである。

●＋×＝90°でおなじみの角度調査。
直角三角形ＡＦＢとＡＢＩとＢＦＩはすべて相似。

ここで、ＡＢ：ＢＦに注目すると、５：15/４＝４：３
斜辺以外の比が３：４だから、直角三角形の辺の比はいずれも３：４：５である。
△ＡＢＩの辺の比より、ＢＩ＝３ｃｍ
求積すべき立体の体積は、（５×５－３×３）×3.14×３＝48×3.14＝150.72ｃｍ³

（３）

３点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面で切り、ＢＣを軸として回転させると、
大きい三角錐から中にある小さい三角錐（空洞部分）をひいた立体になる。

これに（２）のドーナツ円柱を重ねてみると共通部分はだいぶ少ないが、
底面積は同じドーナツで、高さも３ｃｍで等しい。
ということは、柱÷３＝錐が使える。
（*ドーナツ柱÷３＝ドーナツ錐）
150.72÷３＝50.24ｃｍ³