2020年度 慶應義塾高校過去問【数学】大問1解説

次の空欄をうめよ。
(1)√24の小数部分をaとするとき、
2+8a=〔    〕である。

(2)
を既約分数に直すと、〔    〕である。

(3)
3x2-15x+7=0のとき、3x4-15x3+35x-16の値は〔   〕である。

(4)
50人の生徒がA、B2つの問いに答えたところ、Aを正解した生徒が32人、Bを正解した生徒が28人だった。このとき、A、Bともに不正解となった生徒の人数は最大で〔   〕人、また、A、Bともに正解した生徒の人数は最小で〔   〕人である。

(5)
長さも太さも色も同じひもが3本ある。ひもをすべて半分に折り、折った箇所を袋の中に隠し、ひもの両端が袋から出た状態のくじを作った。A,B、C、D4人の生徒が順に6本のひもの端から1つずつ選んだとき、同じひもの両端を選ぶペアが2組となる確率は〔   〕である。

(6)
箱の中に入ったビー玉のうち、125個を取り出して印をつけ、元に戻した。よくかきまぜてx個取り出して調べたところ、印のついたビー玉が35個含まれていたため、箱に入ったビー玉は全部で1万個と推定した。x=〔   〕である。


@解説@
(1)
√16<√24<√25だから、√24の整数部分は4。
小数部分a=√24-4
2+8a 
=a(a+8)
=(√24-4)(√24+4)
=24-16=8

(2)

↑これを約分しなさいという直球(*’ω’*)w
小学生でも解けるが、ここでモタモタすると焦って大問7まで手が届かないよΨ(`∀´)Ψ
差に注目すると、3201-3007=194
3201と3007で約分できるということは、差の194の約数の何かで約分できる。
194の約数は〔1・2・97・194〕意外と少ない!
2と194は偶数なので、奇数の3201と3007と相性が悪い×
そこで97に絞って計算してみる。
3007÷97=31
3201÷97=33
よって、31/33。

(3)
3x2-15x+7=0のとき→3x4-15x3+35x-16
式を比較すると、【3x2-15x】と【3x4-15x3】の部分が似ている…。
3x2-15x=-7と変形。
3x4-15x3+35x-16
=x23x2-15x)+35x-16
=-7x2+35x-16

さらに3x2-15xの形が作れないか模索する。
-7x2+35x-16
=-7(x2-5x)-16
=-7÷3×3×(x2-5)-16 ←÷3×3で値は変わらない。(-7÷3)×{3×(x2-5)}ー16
=-7/3(3x2-15)-16
=-7/3×(-7)-16=1/3

(4)
ベン図を利用。

2問とも不正解した者を最も多くする。
数の少ないBの正解者は全員Aも正解した
BがAに包含すると、Aの外側にいる2問不正解者の領域が最も広くなる。
50-32=28人

今度は2問とも正解した者を最も少なくする。
2問不正解者をゼロにして、50人全員が少なくとも1問は正解したと想定する。
Aの集合を左に、Bの集合を右に寄せると、AとBが重なった領域が最も狭くなる。
(32+28)-50=10人
【解答】28人・10人

(5)

ヒモは3本、ヒモの端は6本。
組み合わせが良いかな?
4人が6本の端を選ぶ組み合わせは、6462=15通り

2組のペアをつくる。
3本のヒモのうち、ペアが成立する2本のヒモを選ぶ。
→選び方は3通り。
3/15=1/5
*発想が求められるので難しい。。
ちなみに、ひも4本で同様に計算すると、
端8本から4人がそれぞれ1本を選ぶ→84=70通り
4本のヒモからペアができる2本を選ぶ→42=6通り
確率は6/70=3/35となる。

(6)
標本の大きさを求める。
印付きのビー玉は【x個中35個】。
印付きは全体で125個で、ビー玉全部を10000個と推定したということは、
印付き:全体=35:x=125:10000
x=10000×35/125=2800
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