問題ＰＤＦ
下図のような一辺の長さ12の正八面体ＡＢＣＤＥＦがあり、ＡＢ、ＡＣそれぞれの中点をＰ、Ｑとし、ＦＤ、ＦＥそれぞれを５：１に内分する点をＲ、Ｓとする。このとき、次の問に答えよ。
（１）
ＰＱの中点をＴ、ＲＳの中点をＵとするとき、ＴＵの長さを求めよ。
（２）
４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを通る平面で、この正八面体を切ったときの切り口の面積を求めよ。
＠解説＠
（１）
↑このＴＵを求める。
Ｔ、Ｕを通る断面で考えよう。
断面ＡＧＦＩは菱形で、対角線の交点をＨとする。
正八面体の各面は１辺12ｃｍの正方形→高さは６√３ｃｍ
四角形ＡＧＦＩは１辺６√３ｃｍの菱形である。
ＴＵが斜めで求めにくい(;´Д｀)
ＴＵよＧＩの交点をＪとする。
ＡＧ//ＩＦから、△ＴＧＪ∽△ＵＩＪ
相似比は、ＧＪ：ＪＩ＝ＴＧ：ＵＩ＝③：①
ＧＪ＝12×③/④＝９ｃｍ
ここで△ＡＧＨと△ＪＴＧに着目する。
共通角で、∠ＡＧＨ＝∠ＪＧＴ
ＧＨ：ＧＴ＝６：３√３＝２：√３
ＡＧ：ＪＧ＝６√３：９＝２√３：３＝２：√３
２辺の比とあいだの角が等しいから、△ＡＧＨ∽△ＪＴＧ
対応する角は等しいので、∠ＪＴＧ＝∠ＡＨＧ＝90°
△ＪＴＧで三平方→ＪＴ＝３√６ｃｍ
ＴＪ：ＪＵ＝３：１だから、ＴＵ＝３√６×４/３＝４√６ｃｍ
（２）
断面とＣＤ、ＢＥの交点をそれぞれＫ、Ｌとすると、
断面は六角形ＰＱＫＲＳＬとなる。
△ＡＢＣ∽△ＡＰＱより、ＰＱ＝６ｃｍ
△ＦＤＥ∽△ＦＲＳより、ＲＳ＝10ｃｍ
ＫＬ＝12
台形ＰＱＫＬと台形ＳＲＫＬの上底と下底がわかっている。
前問より、高さにあたるＴＪ：ＪＵ＝３：１
ＴＪ＝４√６×３/４＝３√６ｃｍ
ＪＵ＝４√６－３√６＝√６ｃｍ
台形ＰＱＫＬと台形ＳＲＫＬの面積を合計する。
＝（６＋12）×３√６÷２＋（12＋10）×√６÷２
＝27√６＋11√６＝38√６
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