上図のような一辺の長さ12の正八面体ＡＢＣＤＥＦがあり、ＡＢ、ＡＣそれぞれの中点をＰ、Ｑとし、ＦＤ、ＦＥそれぞれを５：１に内分する点をＲ、Ｓとする。このとき、次の問に答えよ。
（１）
ＰＱの中点をＴ、ＲＳの中点をＵとするとき、ＴＵの長さを求めよ。
（２）
４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを通る平面で、この正八面体を切ったときの切り口の面積を求めよ。
＠解説＠
（１）
↑このＴＵを求める。
Ｔ、Ｕを通る断面で考えよう。
断面ＡＧＦＩは菱形で、対角線の交点をＨとする。
△ＡＥＩで三平方→ＡＩ＝６√３
△ＡＩＨで三平方→ＡＨ＝６√２
ＴＵが斜めで求めにくい(;´Д｀)
とりあえず、三平方の使用を想定したうえで、
ＦＩ（６√３）を底辺としたときの菱形ＡＧＦＩの高さを求めてみる…。
菱形ＡＧＦＩ＝△ＡＧＩ×２
Ａを通るＦＩの垂線の足をＪとする。
高さＡＪ＝12×６√２÷２×２÷６√３＝４√６
△ＡＩＪで三平方→ＩＪ＝２√３
すると、ＡＴ＝ＪＵ＝３√３！
四角形ＡＴＵＪにおいて、ＡＴ//ＪＵ、ＡＴ＝ＪＵなので、
１組の対辺が平行かつ長さが等しい→四角形ＡＴＵＪは平行四辺形。
（さらに、∠ＡＪＵ＝90°で四角形ＡＴＵＪは長方形）
対辺は等しいので、ＴＵ＝ＡＪ＝４√６
（２）
断面とＣＤ、ＢＥの交点をそれぞれＫ、Ｌとすると、
断面は六角形ＰＱＫＲＳＬとなる。
△ＡＢＣ∽△ＡＰＱより、ＰＱ＝６
△ＦＤＥ∽△ＦＲＳより、ＲＳ＝10
ＫＬ＝12
ＴＵとＫＬの交点をＭとする。
台形ＰＱＫＬと台形ＳＲＫＬの上底と下底がわかったので、
高さにあたるＴＭ、ＭＵの長さを求めるうえでＴＭ：ＭＵが知りたい。
前問の図に注目！
△ＴＧＭ∽△ＵＩＭより、ＴＭ：ＵＭ＝ＴＧ：ＵＩ＝３：１
ＴＭ＝４√６×３/４＝３√６
ＭＵ＝４√６－３√６＝√６
台形ＰＱＫＬと台形ＳＲＫＬの面積を合計する。
＝（６＋12）×３√６÷２＋（12＋10）×√６÷２
＝27√６＋11√６＝38√６
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