2020年度 ラ・サール高校過去問【数学】大問6解説


上図のような一辺の長さ12の正八面体ABCDEFがあり、AB、ACそれぞれの中点をP、Qとし、FD、FEそれぞれを5:1に内分する点をR、Sとする。このとき、次の問に答えよ。

(1)
PQの中点をT、RSの中点をUとするとき、TUの長さを求めよ。

(2)
4点P、Q、R、Sを通る平面で、この正八面体を切ったときの切り口の面積を求めよ。


@解説@
1)

↑このTUを求める。
 
T、Uを通る断面で考えよう。
断面AGFIは菱形で、対角線の交点をHとする。
△AEIで三平方→AI=6√3
△AIHで三平方→AH=6√2

TUが斜めで求めにくい(;´Д`)
とりあえず、三平方の使用を想定したうえで、
FI(6√3)を底辺としたときの菱形AGFIの高さを求めてみる…。

菱形AGFI=△AGI×2
Aを通るFIの垂線の足をJとする。
高さAJ=12×6√2÷2×2÷6√3=4√6

△AIJで三平方→IJ=2√3
すると、AT=JU=3√3
四角形ATUJにおいて、AT//JU、AT=JUなので、
1組の対辺が平行かつ長さが等しい→四角形ATUJは平行四辺形。
(さらに、∠AJU=90°で四角形ATUJは長方形)
対辺は等しいので、TU=AJ=4√6

(2)

断面とCD、BEの交点をそれぞれK、Lとすると、
断面は六角形PQKRSLとなる。
△ABC∽△APQより、PQ=6
△FDE∽△FRSより、RS=10
KL=12

TUとKLの交点をMとする。
台形PQKLと台形SRKLの上底と下底がわかったので、
高さにあたるTM、MUの長さを求めるうえでTM:MUが知りたい。
 
前問の図に注目!
△TGM∽△UIMより、TM:UM=TG:UI=3:1

TM=4√6×3/4=3√6
MU=4√6-3√6=√6

台形PQKLと台形SRKLの面積を合計する。
=(6+12)×3√6÷2+(12+10)×√6÷2
=27√6+11√6=38√6
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