2020年度 ラ・サール高校過去問【数学】大問6解説


上図のような一辺の長さ12の正八面体ABCDEFがあり、AB、ACそれぞれの中点をP、Qとし、FD、FEそれぞれを5:1に内分する点をR、Sとする。このとき、次の問に答えよ。

(1)
PQの中点をT、RSの中点をUとするとき、TUの長さを求めよ。

(2)
4点P、Q、R、Sを通る平面で、この正八面体を切ったときの切り口の面積を求めよ。


@解説@
1)

↑このTUを求める。
 
T、Uを通る断面で考えよう。
断面AGFIは菱形で、対角線の交点をHとする。
△AEIで三平方→AI=6√3
△AIHで三平方→AH=6√2

TUが斜めで求めにくい(;´Д`)
とりあえず、三平方の使用を想定したうえで、
FI(6√3)を底辺としたときの菱形AGFIの高さを求めてみる…。

菱形AGFI=△AGI×2
Aを通るFIの垂線の足をJとする。
高さAJ=12×6√2÷2×2÷6√3=4√6

△AIJで三平方→IJ=2√3
すると、AT=JU=3√3
四角形ATUJにおいて、AT//JU、AT=JUなので、
1組の対辺が平行かつ長さが等しい→四角形ATUJは平行四辺形。
(さらに、∠AJU=90°で四角形ATUJは長方形)
対辺は等しいので、TU=AJ=4√6

(2)

断面とCD、BEの交点をそれぞれK、Lとすると、
断面は六角形PQKRSLとなる。
△ABC∽△APQより、PQ=6
△FDE∽△FRSより、RS=10
KL=12

TUとKLの交点をMとする。
台形PQKLと台形SRKLの上底と下底がわかったので、
高さにあたるTM、MUの長さを求めるうえでTM:MUが知りたい。
 
前問の図に注目!
△TGM∽△UIMより、TM:UM=TG:UI=3:1

TM=4√6×3/4=3√6
MU=4√6-3√6=√6

台形PQKLと台形SRKLの面積を合計する。
=(6+12)×3√6÷2+(12+10)×√6÷2
=27√6+11√6=38√6
国私立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様。


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA