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2020年度 ラ・サール高校過去問【数学】大問6解説

問題PDF
下図のような一辺の長さ12の正八面体ABCDEFがあり、AB、ACそれぞれの中点をP、Qとし、FD、FEそれぞれを5:1に内分する点をR、Sとする。このとき、次の問に答えよ。


(1)
PQの中点をT、RSの中点をUとするとき、TUの長さを求めよ。

(2)
4点P、Q、R、Sを通る平面で、この正八面体を切ったときの切り口の面積を求めよ。


@解説@
1)

↑このTUを求める。

T、Uを通る断面で考えよう。
断面AGFIは菱形で、対角線の交点をHとする。
正八面体の各面は1辺12cmの正方形→高さは6√3cm
四角形AGFIは1辺6√3cmの菱形である。

TUが斜めで求めにくい。TUとGIの交点をJとする。
AG//IFから、△TGJ∽△UIJ
相似比は、GJ:JI=TG:UI=③:①
GJ=12×③/④=9cm

ここで△AGHと△JTGに着目する
共通角で、∠AGH=∠JGT
GH:GT=6:3√3=2:√3
AG:JG=6√3:9=2√3:3=2:√3
2辺の比とあいだの角が等しいから、△AGH∽△JTG
対応する角は等しいので、∠JTG=∠AHG=90°

△JTGで三平方→JT=3√6cm
TJ:JU=3:1だから、TU=3√6×4/3=4√6cm

(2)

断面とCD、BEの交点をそれぞれK、Lとすると、
断面は六角形PQKRSLとなる。
△ABC∽△APQより、PQ=6cm
△FDE∽△FRSより、RS=10cm
KL=12

台形PQKLと台形SRKLの上底と下底がわかっている。
前問より、高さにあたるTJ:JU=3:1

TJ=4√6×3/4=3√6cm
JU=4√6-3√6=√6cm

台形PQKLと台形SRKLの面積を合計する。
=(6+12)×3√6÷2+(12+10)×√6÷2
=27√6+11√6=38√6
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