2021年度　都立西高校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
先生が数学の授業で次の【課題】を出した。この【課題】について考えている【太郎さんと花子さんの会話】を読んで、あとの各問いに答えよ。

【課題】
３以上の自然数Ｎを、２つの自然数ｘ、ｙの和で、Ｎ＝ｘ＋ｙと表す。ただし、ｘ＞ｙとする。
さらに、ｘとｙの積ｘｙを考える。
このとき、積ｘｙが２つの自然数ｍ、ｎの平方の差で、ｘｙ＝ｍ²－ｎ²と表すことができるのは
Ｎがどのような場合か考えよ。

【太郎さんと花子さんの会話】
太郎：まずはＮに具体的な数を当てはめて考えてみよう。Ｎ＝８としたらどうかな。
花子：８は７＋１か６＋２か５＋３だから、Ｎ＝８のときｘとｙの積ｘｙは３組あるね。
太郎：７×１＝４²－３²、６×２＝４²－２²、５×３＝４²－１²だから、
　Ｎ＝８とすると積ｘｙは、必ず自然数の平方の差で表すことができるね。
　Ｎ＝７とするとどうかな。
花子：_（１）積ｘｙは、必ずしも自然数の平方の差で表せるとは限らないね。
太郎：Ｎとしてもっと大きな数でいくつか考えてみようか。
　Ｎ＝2020やＮ＝2021の場合はどうかな。
花子：大きな数だからすぐには分からないけど、積ｘｙを自然数の平方の差で必ず表すためには
　Ｎに何か条件が必要だと思う。
太郎：そうか、分かった。
　（２）Ｎが偶数のときには、積ｘｙは必ず自然数の平方の差で表すことができるよ。
花子：Ｎ＝ｘ＋ｙだから、２つの数ｘ、ｙがともに偶数ならＮは偶数だね。
太郎：そうだね。ちなみに、２つの数ｘ、ｙについて【表】で示される関係があるよ。
　ア～オには偶数か奇数のどちらかが必ず入るよ。

花子：なるほどね。じゃあ、Ｎ＝2021の場合は、
　積ｘｙは自然数の平方の差で必ずしも表せるとは限らないということかな。
太郎：そうだね。たとえば、2021＝ｘ＋ｙとして、ｘ＝2019、ｙ＝２のときは、
　積ｘｙは自然数の平方の差で表せないけど、（３）ｘ＝1984、ｙ＝37のときは、
　積ｘｙは自然数の平方の差で表すことができるよ。

問１
_（１）積ｘｙは、必ずしも自然数の平方の差で表せるとは限らないね。とあるが、
Ｎ＝７の場合、自然数の平方の差で表すことができる（ｘ、ｙ）の組は１組である。
このときｘとｙの積ｘｙを求めよ。

問２
（２）Ｎが偶数のときには、積ｘｙは必ず自然数の平方の差で表すことができるよ。
が正しい理由を文字Ｎ、ｘ、ｙ、ｍ、ｎを用いて説明せよ。
ただし、【表】のア～オに偶数か奇数を当てはめた結果については証明せずに用いてよい。

問３
（３）ｘ＝1984、ｙ＝37のときは、積ｘｙは自然数の平方の差で表すことができるよ。とあるが、
1984×37＝ｍ²－ｎ²を満たす自然数（ｍ、ｎ）の組は何組あるか。

平方数を並べる。
【１、４、９、16、25、36…】
16－４＝12なので、積ｘｙは12。

問２
Ｎ＝ｘ＋ｙ（ｘ＞ｙ）
ｘｙ＝ｍ²－ｎ²＝（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）

条件整理。
ｘ、ｙ、ｍ、ｎは自然数。ｘｙ＞０、ｍ＋ｎ＞０
ｘｙ＝（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）だから、ｍ－ｎも正の数（ｍ－ｎ＞０）。
ｍ＋ｎ＞ｍ－ｎ、ｘ＞ｙなので、ｘが（ｍ＋ｎ）、ｙが（ｍ－ｎ）に相当する。

ｘ＝ｍ＋ｎ…①、ｙ＝ｍ－ｎ…②の連立方程式を解く。
①＋②
　ｘ＝ｍ＋ｎ
＋)ｙ＝ｍ－ｎ
ｘ＋ｙ＝２ｍ
ｍ＝（ｘ＋ｙ）/２

①－②→ｎ＝（ｘ－ｙ）/２

ｍとｎは自然数だから、分子の（ｘ＋ｙ）と（ｘ－ｙ）は偶数でなくてはならない。
ｘ＋ｙとｘ－ｙがともに偶数となるには、ｘとｙがどちらも偶数か奇数でなくてはならない。
偶数＋偶数＝偶数、奇数＋奇数＝偶数なので、Ｎ＝ｘ＋ｙにおいてＮは偶数となる。

問３
1984を素因数分解すると、1984＝２⁶×31
【ｘｙ＝1984×37＝２⁶×31×37＝（ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）】
前問よりｘとｙはいずれも偶数か奇数でなければならない。
ｘｙは素因数２を含むので偶数。
偶×偶＝偶、奇×奇＝奇だから、ｘとｙはともに偶数で（偶数）×（偶数）の形しかない。

また、ｍ＝（ｘ＋ｙ）/２、ｎ＝（ｘ－ｙ）/２から、
ｘとｙの値がわかれば、自動的にｍ、ｎの値も判明する。

ｘ、ｙがともに偶数となるように素因数２を分配する。
２⁵×31、２×37
２⁴×31、２²×37
２³×31、２³×37
２²×31、２⁴×37
２×31、２⁵×37
２⁵、２×31×37
２⁴、２²×31×37
２³、２³×31×37
２²、２⁴×31×37
２、２⁵×31×37
以上、10組。
*【２⁵×31、２×37】であれば、ｘ＞ｙからｘ＝２⁵×31＝992、ｙ＝２×37＝74
ｍ+ｎ＝992、ｍ－ｎ＝74の連立をとくと、ｍ＝533、ｎ＝459となる。
本問はｍ、ｎの組み合わせの個数を求めるので、ｍとｎの値はいちいち出さなくていい。
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