2022年度 都立西高校過去問【数学】大問4解説

A組、B組、C組、D組、E組、F組、G組、H組の8クラスが、
種目1、種目2、種目3の3種目でクラス対抗戦を行う。
全クラスが、3種目全てに参加し、3種目それぞれで優勝クラスを決める。
各生徒は、3種目のうちいずれか1種目に出場することができる。

(1)
種目1、種目2は、8クラスが抽選で下の図1の①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧のいずれかの箇所に入り、①と②、③と④、⑤と⑥、⑦と⑧の4試合を1回戦、1回戦で勝った4クラスが行う2試合を準決勝、準決勝で勝った2クラスが行う1試合を決勝とし、決勝で勝ったクラスが優勝となる勝ち残り式トーナメントで試合を行い、優勝を決める。


①下の図2は、図1において、A組が①、B組が④、C組が⑤、D組が⑧の箇所に入った場合を表している。図2において、1回戦の試合の組み合わせは全部で何通りあるか。

②種目1、種目2の試合は、それぞれ1会場で1試合ずつ行い、最初の試合は同時に始めるものとする。種目1、種目2の試合が、次の【条件】を満たすとき、種目1の1試合の試合時間は何分か。ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

【条件】
〔1〕(種目1の1試合の試合時間):(種目2の1試合の試合時間)=2:3である。
〔2〕種目1、種目2とも、試合と試合の間を5分あけ、最初の試合が始まってから
 決勝までの全ての試合を続けて行う。
〔3〕種目2の5試合目が終了するとき、同時に種目1の決勝が終了する。

 

(2)
種目3では、各クラス4人が1周200mのトラックを、走る順番ごとに決められた周回数を走り、次の人にタスキを渡す駅伝を行い、優勝を決める。

上の表1は、第1走者、第2走者、第3走者が走る周回数を表している。

B組が、種目3に出場する各クラスの選手の速さや走る順番を分析したところ、
A組が優勝候補であった。

上の表2は、B組がA組に勝つ方法を考えるために、A組、B組の第1走者、第2走者、第3走者の速さをまとめたもので、aには、B組の第2走者の速さがあてはまる。

A組、B組の第4走者の速さを調べると、B組の第4走者が不調のときでも、第3走者から第4走者に【時間差1】でタスキを渡せば、B組は逃げ切ってA組に勝て、B組の第4走者が好調なときは、第3走者から第4走者に【時間差2】でタスキを渡せば、B組は逆転でA組に勝てる。
B組の第3走者が、【時間差1】から【時間差2】までの時間差で第4走者にタスキを渡すためのB組の第2走者の速さaの値の範囲を、不等号を使って〔  〕≦a≦〔  〕で表せ。

時間差1】
A組が第3走者から第4走者にタスキを渡すより12秒早く
B組が第3走者から第4走者にタスキを渡す。

時間差2
A組が第3走者から第4走者にタスキを渡すより18秒遅く
B組が第3走者から第4走者にタスキを渡す。


@解説@
(1)①
残りの4チームが空いている場所に入る。
4つの順列で、44=24通り


求めたいものを文字に置き換え、方程式を立てる。
短時間で条件を整理して解答するのは厳しいか。

種目1の試合時間をx分、種目2の試合時間をy分とする
〔1〕より、x:y=2:3
外項と内項の積で、3x=2y
y=3/2x …①

もう1つは、〔3〕種目1の決勝終了時間=種目2の5試合目終了時間
インターバルの数は【試合数-1】で、種目1の試合数は7試合。
種目1の決勝終了時間は、7x+5×(7-1)=7x+30分後
種目2の5試合目終了時間は、5y+5×(5-1)=5y+20分後
7x+30=5y+20
7x+10=5y ←2倍してみる
14x+20=10y …②

①を②に代入すると、
14x+20=10×(3/2x)
14x+20=15x
x=20
種目1の試合時間は20分。

(2)
最後の最後で条件文が長くて複雑(´°ω°`;)


走者ごとで周回数が違うので気をつけましょう
(*’ω’*)💢

これを異なる速さでひたすら割って時間を出す…。
第1走者:A…2000÷250=8分、B…2000÷240=25/3分=8分20秒
第2走者:A…1200÷240=5分
第3走者:A…1800÷250=36/5分=7分12秒、B…1800÷240=15/2分=7分30秒

A組の合計タイムは、8:00+5:00+7:12=20分12秒
ここで【時間差】を考慮する。
これより12秒早く18秒遅いから、B組の合計タイムは20分~20分30秒の範囲
B組の第1走者と第3走者の合計は、8:20+7:30=15分50秒だから、
B組の第2走者は、20:00-15:50=4分10秒(25/6分)より遅く、
4:10+0:30=4分40秒(14/3分)より早い。

速さaの範囲は、
1200÷14/3=分速1800/7m以上、1200÷25/6=分速288m以下。
1800/7≦a≦288

@@@@
問題の長文化&処理の複雑化は共通テストを意識しているのだと思うけど、
内容は専ら算数で解けるもので何より面倒臭さが際立ち、いまいち出題意図が不明…(´~`)
何かご意見がある方は、下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせください。

国私立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA