2022年度 都立西高校過去問【数学】大問4解説

問題PDF
A組、B組、C組、D組、E組、F組、G組、H組の8クラスが、
種目1、種目2、種目3の3種目でクラス対抗戦を行う。
全クラスが、3種目全てに参加し、3種目それぞれで優勝クラスを決める。
各生徒は、3種目のうちいずれか1種目に出場することができる。

(1)
種目1、種目2は、8クラスが抽選で下の図1の①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧のいずれかの箇所に入り、①と②、③と④、⑤と⑥、⑦と⑧の4試合を1回戦、1回戦で勝った4クラスが行う2試合を準決勝、準決勝で勝った2クラスが行う1試合を決勝とし、決勝で勝ったクラスが優勝となる勝ち残り式トーナメントで試合を行い、優勝を決める。


[1]下の図2は、図1において、A組が①、B組が④、C組が⑤、D組が⑧の箇所に入った場合を表している。図2において、1回戦の試合の組み合わせは全部で何通りあるか。

[2]種目1、種目2の試合は、それぞれ1会場で1試合ずつ行い、最初の試合は同時に始めるものとする。種目1、種目2の試合が、次の【条件】を満たすとき、種目1の1試合の試合時間は何分か。ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

【条件】
〔1〕(種目1の1試合の試合時間):(種目2の1試合の試合時間)=2:3である。
〔2〕種目1、種目2とも、試合と試合の間を5分あけ、最初の試合が始まってから
 決勝までの全ての試合を続けて行う。
〔3〕種目2の5試合目が終了するとき、同時に種目1の決勝が終了する。

 

(2)
種目3では、各クラス4人が1周200mのトラックを、走る順番ごとに決められた周回数を走り、次の人にタスキを渡す駅伝を行い、優勝を決める。

上の表1は、第1走者、第2走者、第3走者が走る周回数を表している。

B組が、種目3に出場する各クラスの選手の速さや走る順番を分析したところ、
A組が優勝候補であった。

上の表2は、B組がA組に勝つ方法を考えるために、A組、B組の第1走者、第2走者、第3走者の速さをまとめたもので、aには、B組の第2走者の速さがあてはまる。

A組、B組の第4走者の速さを調べると、B組の第4走者が不調のときでも、第3走者から第4走者に【時間差1】でタスキを渡せば、B組は逃げ切ってA組に勝て、B組の第4走者が好調なときは、第3走者から第4走者に【時間差2】でタスキを渡せば、B組は逆転でA組に勝てる。
B組の第3走者が、【時間差1】から【時間差2】までの時間差で第4走者にタスキを渡すためのB組の第2走者の速さaの値の範囲を、不等号を使って〔  〕≦a≦〔  〕で表せ。

時間差1】
A組が第3走者から第4走者にタスキを渡すより12秒早く
B組が第3走者から第4走者にタスキを渡す。

時間差2
A組が第3走者から第4走者にタスキを渡すより18秒遅く
B組が第3走者から第4走者にタスキを渡す。


@解説@
(1)[1]
残りの4チームが空いている場所に入る。
4つの順列で、44=24通り

[2]
求めたいものを文字に置き換え、方程式を立てる。
短時間で条件を整理して解答するのは厳しいか。

種目1の試合時間をx分、種目2の試合時間をy分とする
〔1〕より、x:y=2:3
外項と内項の積で、3x=2y
y=3/2x …①

もう1つは、〔3〕種目1の決勝終了時間=種目2の5試合目終了時間
インターバルの数は【試合数-1】で、種目1の試合数は7試合。
種目1の決勝終了時間は、7x+5×(7-1)=7x+30分後
種目2の5試合目終了時間は、5y+5×(5-1)=5y+20分後
7x+30=5y+20
7x+10=5y ←2倍してみる
14x+20=10y …②

①を②に代入すると、
14x+20=10×(3/2x)
14x+20=15x
x=20
種目1の試合時間は20分。

(2)
最後の最後で条件文が長くて複雑(´°ω°`;)


走者ごとで周回数が違うので気をつけましょう
(*’ω’*)????

これを異なる速さでひたすら割って時間を出す…。
第1走者:A…2000÷250=8分、B…2000÷240=25/3分=8分20秒
第2走者:A…1200÷240=5分
第3走者:A…1800÷250=36/5分=7分12秒、B…1800÷240=15/2分=7分30秒

A組の合計タイムは、8:00+5:00+7:12=20分12秒
ここで【時間差】を考慮する。
これより12秒早く18秒遅いから、B組の合計タイムは20分~20分30秒の範囲
B組の第1走者と第3走者の合計は、8:20+7:30=15分50秒だから、
B組の第2走者は、20:00-15:50=4分10秒(25/6分)より遅く、
4:10+0:30=4分40秒(14/3分)より早い。

速さaの範囲は、
1200÷14/3=分速1800/7m以上、1200÷25/6=分速288m以下。
1800/7≦a≦288

@@@@
問題の長文化&処理の複雑化は共通テストを意識しているのだと思うけど、
内容は専ら算数で解けるもので何より面倒臭さが際立ち、いまいち出題意図が不明…(´~`)
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