問題ＰＤＦ
Ａ組、Ｂ組、Ｃ組、Ｄ組、Ｅ組、Ｆ組、Ｇ組、Ｈ組の８クラスが、
種目１、種目２、種目３の３種目でクラス対抗戦を行う。
全クラスが、３種目全てに参加し、３種目それぞれで優勝クラスを決める。
各生徒は、３種目のうちいずれか１種目に出場することができる。
（１）
種目１、種目２は、８クラスが抽選で下の図１の①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧のいずれかの箇所に入り、①と②、③と④、⑤と⑥、⑦と⑧の４試合を１回戦、１回戦で勝った４クラスが行う２試合を準決勝、準決勝で勝った２クラスが行う１試合を決勝とし、決勝で勝ったクラスが優勝となる勝ち残り式トーナメントで試合を行い、優勝を決める。
[１]下の図２は、図１において、Ａ組が①、Ｂ組が④、Ｃ組が⑤、Ｄ組が⑧の箇所に入った場合を表している。図２において、１回戦の試合の組み合わせは全部で何通りあるか。
[２]種目１、種目２の試合は、それぞれ１会場で１試合ずつ行い、最初の試合は同時に始めるものとする。種目１、種目２の試合が、次の【条件】を満たすとき、種目１の１試合の試合時間は何分か。ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。
【条件】
〔１〕（種目１の１試合の試合時間）：（種目２の１試合の試合時間）＝２：３である。
〔２〕種目１、種目２とも、試合と試合の間を５分あけ、最初の試合が始まってから
決勝までの全ての試合を続けて行う。
〔３〕種目２の５試合目が終了するとき、同時に種目１の決勝が終了する。
（２）
種目３では、各クラス４人が１周200ｍのトラックを、走る順番ごとに決められた周回数を走り、次の人にタスキを渡す駅伝を行い、優勝を決める。
上の表１は、第１走者、第２走者、第３走者が走る周回数を表している。
Ｂ組が、種目３に出場する各クラスの選手の速さや走る順番を分析したところ、
Ａ組が優勝候補であった。
上の表２は、Ｂ組がＡ組に勝つ方法を考えるために、Ａ組、Ｂ組の第１走者、第２走者、第３走者の速さをまとめたもので、ａには、Ｂ組の第２走者の速さがあてはまる。
Ａ組、Ｂ組の第４走者の速さを調べると、Ｂ組の第４走者が不調のときでも、第３走者から第４走者に【時間差１】でタスキを渡せば、Ｂ組は逃げ切ってＡ組に勝て、Ｂ組の第４走者が好調なときは、第３走者から第４走者に【時間差２】でタスキを渡せば、Ｂ組は逆転でＡ組に勝てる。
Ｂ組の第３走者が、【時間差１】から【時間差２】までの時間差で第４走者にタスキを渡すためのＢ組の第２走者の速さａの値の範囲を、不等号を使って〔 〕≦ａ≦〔 〕で表せ。
【時間差１】
Ａ組が第３走者から第４走者にタスキを渡すより12秒早く
Ｂ組が第３走者から第４走者にタスキを渡す。
【時間差２】
Ａ組が第３走者から第４走者にタスキを渡すより18秒遅く
Ｂ組が第３走者から第４走者にタスキを渡す。
＠解説＠
（１）[１]
残りの４チームが空いている場所に入る。
４つの順列で、4Ｐ4＝24通り
[２]
求めたいものを文字に置き換えて方程式を立てる。
短時間で条件を整理して解答するのは厳しい。
種目１の試合時間をｘ分、種目２の試合時間をｙ分とする。
〔１〕より、ｘ：ｙ＝２：３
外項と内項の積で、３ｘ＝２ｙ
ｙ＝３/２ｘ …①
もう１つは、〔３〕種目１の決勝終了時間＝種目２の５試合目終了時間。
インターバルの数は【試合数－１】、種目１の試合数は７試合。
種目１の決勝終了時間は、７ｘ＋５×（７－１）＝７ｘ＋30分後
種目２の５試合目終了時間は、５ｙ＋５×（５－１）＝５ｙ＋20分後
７ｘ＋30＝５ｙ＋20
７ｘ＋10＝５ｙ ←２倍
14ｘ＋20＝10ｙ …②
①を②に代入すると、
14ｘ＋20＝10×（３/２ｘ）
14ｘ＋20＝15ｘ
ｘ＝20
種目１の試合時間は20分。
（２）
最後の最後で条件文が長くて複雑(´°ω°`;)
走者ごとに周回数が違うので気をつけましょう。
これを異なる速さでひたすら割って時間を出す…。
第１走者：Ａ…2000÷250＝８分、Ｂ…2000÷240＝25/３分＝８分20秒
第２走者：Ａ…1200÷240＝５分
第３走者：Ａ…1800÷250＝36/５分＝７分12秒、Ｂ…1800÷240＝15/２分＝７分30秒
Ａ組の合計タイムは、８：00＋５：00＋７:12＝20分12秒
ここで【時間差】を考慮する。
これより12秒早く18秒遅いから、Ｂ組の合計タイムは20分～20分30秒の範囲。
Ｂ組の第１走者と第３走者の合計は、８：20＋７：30＝15分50秒だから、
Ｂ組の第２走者は、20：00－15：50＝４分10秒（25/６分）より遅く、
４：10＋０：30＝４分40秒（14/３分）より早い。
速さａの範囲は、
1200÷14/３＝分速1800/７ｍ以上、1200÷25/６＝分速288ｍ以下
1800/７≦ａ≦288
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