2022年度　都立西高校過去問【数学】大問１解説

問題ＰＤＦ
問１
を計算せよ。

問２
２次方程式を解け。

問３

上の図１のように、０、２、４、６、７、８の数が１つずつ書かれた６個のボールが入っている袋Ａと、１、２、３、５、７、９の数が１つずつ書かれた６個のボールが入っている袋Ｂがある。２つの袋Ａ、Ｂから同時にそれぞれ１個のボールを取り出す。袋Ａから取り出されたボールに書かれた数をａ、袋Ｂから取り出されたボールに書かれた数をｂとするとき、が有理数となる確率を求めよ。ただし、２つの袋Ａ、Ｂそれぞれについて、どのボールが取り出されることも同様に確からしいものとする。

問４
ａを整数とする。
次のａを含む８個の整数の中央値をＭとする。
　ａ、25、26、27、30、31、32、35
このとき、Ｍの取り得る値は何通りあるか。

問５

上の図２は、線分ＡＢ上の点をＰとし、線分ＡＢを直径とする半円を、折り返した弧と線分ＡＢが点Ｐで接するように１回だけ折り、できた折り目を線分ＱＲとしたものである。
解答欄に示した図をもとにして、線分ＱＲを定規とコンパスを用いて作図せよ。ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

＠解説＠
問１

初iPadで書いてみたのですが慣れない|-`)…
３√３で通分。分数をつなげるときは符号に注意！
－２√６/９

問２

最初は小数で統一しました。
解の公式はｂ＝２ｂ’を使って、ｘ＝（１±√19）/２

問３
ボールの取り出し方は６×６＝36通り
が有理数となる組み合わせを探していくが、骨の折れる作業(;`ω´)
地道にあてはめていくのが確実だが、36個もパターンがあるので時間との闘いになる。

有理数→根号を外す。
●ａ＝０
ａが０だと、√ｂ/√ｂ＝１で有理数。
袋Ｂは何でもよいので６通り。
●ａとｂが同数
同数の場合、√ｂ/２√ｂ＝１/２で有理数。
（ａ、ｂ）＝（２、２）（７、７）
●０以外の平方数
平方数であれば根号が外れて有理数になる。
ａ＝４しかない。ｂ＝１、９
●〇√〇に変換して根号の中が同数
もう１つが曲者。
√８＝２√２と変換すれば、根号の中が全て２となり、
同数のパターンと同様に有理数になる。
*√２/（２√２＋√２）＝１/３
（ａ、ｂ）＝（８、２）
以上、11通り。
確率は11/36。

問４

８個の中央値Ｍは４番目と５番目の平均値。
ａが４番目になるのは27から。（25・26・27・27）
ａが５番目になるのは31まで。（25・26・27・30・31・31）
27～31の５通り。

問５
この作図はなかなかの難度だと思う。

折り返しなのでＱＲを対称の軸とすると、Ｐに対応するＰ’は弧ＡＢ上のどこかにある。
ＰＰ’の垂直二等分線がＱＲなので、Ｐ’を作ろうとしたいが・・

解答用紙の図ではＰ’の位置が特定できない！<# `Д´>
ＱＲのためにＰ’を探りたいが、Ｐ’を特定にするにはＱＲが必要という板バサミ。

そこで別の方向から攻めてみる。
半円を円にしてみよう。
Ｐ以外で折り返せるものといえば円。
ＱＲを対称の軸として左上に円を作成する。
赤い円（弧ＱＲ）⇒弦ＱＲの順に描いていく。

青い円の中心ＯはＡＢの垂直二等分線で決まる。
赤い円の中心Ｏ’はどうするか？
『折り返した弧と線分ＡＢが点Ｐで接する』
円Ｏ’は接線ＡＢと接点Ｐで接している。
半径と接線の関係は垂直だからＯ’Ｐ⊥ＡＢ。

①ＡＢの垂直二等分線。中心Ｏがでる。
②Ｐを通る垂線。垂線上にＯ’がある。
③２つの円の半径は同じ。半径ＡＯの長さをとってＰから長さを移す。中心Ｏ’がでる。
④弧ＡＢと２点が交わるように、Ｏ’からグルっと弧を描く。
⑤２つの交点ＱＲを結ぶ。
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