2020年度 久留米大学附設高校過去問【数学】大問4解説


直径5の円Oの円周上にAB=4となるように2点A、Bをとる。
弧ABのうち長い方の円弧上に動点Pをとり、線分APの中天をMとし、
Mから線分PBに垂線MNを引く。次の問いに答えよ。
(1)
PAが円Oの直径となるとき、MNの長さを求めよ。

(2)
PBが円Oの直径となるとき、三角形PMNの面積を求めよ。

(3)
点CをBCが円Oの直径となる点と定める。
「点Pが点Aを含まない円弧BC上にあるとき、直線MNは点Pの位置に関わらず定点Qを通る。
ただし、点Pは点Bとは異なる点とする」
解答欄の図に定点Qを図示した上で、このことを証明せよ。


@解説@
(1)


↑PAが直径のとき。Mが中心O。
直径に対する円周角は直角なので、∠ABP=90°
△PMN∽△PABより、MN=4÷2=2

(2)

直径に対する円周角で∠PAB=90°
△PBAは3:4:5の直角三角形。
面積は3×4÷2=6
MP=3÷2=3/2

△PBAと△PMNの面積比を求める。
面背比は辺の比の2乗。
2:(3/2)2
=25:9/4=100:9
よって、△PMNの面積は、6×9/100=27/50

(3)
難しい:(っ`ω´c):

適当に調べてみると左のところに集まっている・・。
AとCのあいだっぽい

BCは直径。これに対する円周角である∠BPC=90°
同位角が等しく、CP//MN
MNとACの交点をQとする。
CP//MNから2角が等しく、△ACP∽△AQM
AQ:QC=AM:MP=1:1
定点QはACの中点にある

(1)(2)の図から直線MNを描いてQの位置を探るのが良かったかな?
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