2021年度　久留米大学附設高校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
図のように、△ＡＢＣの内接円の中心をＯとし、
円Ｏと辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡとの接点をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとする。
３点Ｅ、Ｏ、Ｄを通る円をＰとする。

（１）
円Ｐは点Ｂを通ることを証明せよ。

同様に、３点Ｅ、Ｏ、Ｆを通る円をＱとすると、円Ｑは点Ｃを通る。
図のように、直線ＦＤと円Ｐの交点をＧ、直線ＧＥと円Ｑの交点をＨ、
直線ＨＦと円Ｏの交点をＩとする。

（２）
∠ＢＥＧ＝∠ＦＩＤを示し、△ＦＤＩは二等辺三角形であることを証明せよ。

＠解説＠
（１）
円Ｏと円Ｐだけを見る。Ｇの情報も不要。

↑内接円といえばこの形。
半径ＯＤ、ＯＥはそれぞれ接線ＢＡ、ＢＣに対して垂直に交わる。
∠ＯＤＢ＋∠ＯＥＢ＝180°だから、四角形ＢＥＯＤは円に内接するので、
４点Ｂ、Ｅ、Ｏ、Ｄは同一円周上にある。
したがって、円Ｐは点Ｂを通る。

＠４点が同一円周上にある証明＠
①円周角定理の逆
公立高校入試でも頻出。
同じ円であれば、同じ弧に対する円周角が等しい。
⇒同じ弧に対する円周角が等しければ、同じ円。
『直線〇〇に対して同じ側にある２点〇、〇について、
∠〇〇〇＝∠〇〇〇が成り立つとき、４点〇〇〇〇は同一円周上にある』
この言い回しは証明で書けるようにしておきたい。

②内接四角形の性質
・対角の和が180°である。
・外角はそれと隣り合う内角の対角に等しい。
どちらかを指摘すれば、同一円周上の点にあるといえる。

③方べきの定理の逆

受験の月より。
方べきの定理から、ＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ・ＰＤが成り立つ。
逆にＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ・ＰＤが成り立てば、４点は同一円周上にある。

（２）

Ｉが厄介な位置にある。
弧ＤＦ、弧ＦＩの円周角が使えにくい。
円ＯはＤでＡＢと接している⇒接弦定理に思考を変える。
∠ＢＥＧから出発して時計回りに移動していくと、
∠ＢＥＧ⇒弧ＢＧに対する円周角⇒対頂角⇒接弦定理⇒∠ＦＩＤ
∠ＢＥＧ＝∠ＦＩＤ　…①

後半も同様。円ＯはＦでＡＣと接している。
今度は反時計回りに進んで、
∠ＢＥＧ⇒対頂角⇒弧ＨＣに対する円周角⇒接弦定理⇒∠ＦＤＩ
∠ＢＥＧ＝∠ＦＤＩ　…②

①、②より∠ＦＩＤ＝∠ＦＤＩ
△ＦＤＩは２つの底角が等しく、二等辺三角形である。
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