2024年度　都立西高校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
　高校生のＮさんは、夏休みに母校の中学校で数学の学習補助のボランティア活動に参加した。Ｎさんは、そこで中学生の太郎さんがノートに次のような計算をしているのを見付けた。Ｎさんは間違っているところに×を書いた。

　太郎さんは、になると勘違いしており、そのためアの計算には間違ったところがある。Ｎさんは、太郎さんが同様の勘違いでイの計算を行ったと考え、太郎さんのノートの４行目のところで×を付けようと思ったが、正しく計算した答えと同じになるため×を付けることができなかった。Ｎさんは、ａが正の整数、ｂが正の数のとき、太郎さんのノートの３行目から４行目の計算のようにとなる例が他にもないか調べてみたところ、Ｎさんは、ａ＝10のとき、ｂ＝（あ）となるのを見付けた。

〔問１〕
（あ）に当てはまる値を求めよ。

　次に、Ｎさんは中学生の花子さんがノートに次のような式の展開をしているのを見付けた。
Nさんは、間違っているところに×を書いた。

花子さんは、ｘ、ｙがどんな値でも、（ｘ＋ｙ）²がｘ²＋ｙ²に、（ｘ＋ｃ）（ｘ＋ｄ）がｘ²＋ｃｄになると勘違いしており、そのためウの式の展開には間違ったところがある。Ｎさんは、花子さんが同様の勘違いでエの式の展開を行ったと考え、花子さんのノートの４行目のところで×を付けようと思ったが、×を付けることができなかった。Ｎさんは、花子さんの勘違いによる式の展開と、正しく式の展開をしたときの結果が同じになるときは、どんな場合か興味をもった。
ｅ、ｆ、ｇを自然数としてｆ＞ｇ、ｘ≠０とすると、Ｎさんは、（ｘ＋ｅ）²－（ｘ＋ｆ）（ｘ＋ｇ）を花子さんの勘違いによる方法で展開したときと、正しく展開したときの結果が同じになるときは、（ｘ＋ｅ）²－（ｘ＋ｆ）（ｘ＋ｇ）＝Ａとしたとき、√Ａが必ず自然数になることに気が付いた。

〔問２〕
上記の下線部が正しい理由を、文字ｘ、ｅ、ｆ、ｇ、Ａを用いて説明せよ。
ただし、説明の過程が分かるように、途中の式や考え方なども書け。
なお、2つの数Ｘ、Ｙについて、【表】で示される関係が成り立ち、オ～ケには偶数か奇数のどちらかが入る。
説明するときに【表】のオ～ケに偶数か奇数を正しく当てはめた結果については、証明せずに用いてよい。

　Ｎさんは、誤った計算方法でも正しい答えが出てくる場合について、他にどのような例があるか調べたところ、ｈを１以上９以下の整数、ｉ、ｊをそれぞれ０以上９以下の整数としたとき、（ｈ＋ｉ＋ｊ）³＝100ｈ＋10ｉ＋ｊとなる場合があることが分かった。
　そこでＮさんは、ｋを1以上9以下の整数、ℓ、ｍ、ｎをそれぞれ０以上９以下の整数として、（ｋ＋ℓ＋ｍ＋ｎ）⁴の値がｋ、ℓ、ｍ、ｎを左から順に並べた４桁の数と等しくなる場合があるか考え、そのようなｋ、ℓ、ｍ、ｎの組を見付けることができた。

〔問３〕
Ｎさんが見付けたｋ、ℓ、ｍ、ｎについて、の値を求めよ。

＠解説＠
〔問１〕

100/99

〔問２〕
難しい(;`ω´)
（ｘ＋ｅ）²－（ｘ＋ｆ）（ｘ＋ｇ）＝Ａとして、これを正しい方法で展開したときと花子の勘違いの方法で展開したときに結果が同じになる場合、√Ａが自然数になることを証明する。
→√Ａが自然数ということは、Ａは平方数である。

２通りで展開してみる。
【正】
（ｘ＋ｅ）²－（ｘ＋ｆ）（ｘ＋ｇ）
＝ｘ²＋２ｅｘ＋ｅ²－ｘ²－（ｆ＋ｇ）ｘ－ｆｇ
＝ｅ²＋２ｅｘ－（ｆ＋ｇ）ｘ－ｆｇ
【誤】（花子の勘違い）
（ｘ＋ｅ）²－（ｘ＋ｆ）（ｘ＋ｇ）
＝ｘ²＋ｅ²－ｘ²－ｆｇ
＝ｅ²－ｆｇ

これらが同じ値になるから、
ｅ²＋２ｅｘ－（ｆ＋ｇ）ｘ－ｆｇ＝ｅ²－ｆｇ
２ｅｘ－（ｆ＋ｇ）ｘ＝０
２ｅｘ＝（ｆ＋ｇ）ｘ　←ｘ≠０だから÷ｘができる
ｅ＝（ｆ＋ｇ）/２

これを元の式のｅに代入してみる。

ｆ、ｇは自然数でｆ＞ｇだから、ｆ－ｇは自然数である。

ここで、ｅ＝（ｆ＋ｇ）/２→２ｅ＝ｆ＋ｇよりｆ＋ｇは偶数。

ｆ＋ｇが偶数だと、ｆ・ｇはともに偶数か奇数。
ｆ・ｇがともに偶数か奇数であれば、ｆ－ｇは必ず偶数である。（キ・ク）
→（ｆ－ｇ）/２は自然数である→√Ａは自然数。

＠＠
公式解答を貼り付けておきます。

公式では、花子の方に代入していました。
確かに値が同じになるので、ｅ²－ｆｇの方が計算しやすいですね。

〔問３〕

各位の和を４乗した数がその数自身になる。
その平方根なので、各位の和を２乗した値が答えになる。
今までとテイストが異なるため、前問を足掛かりにできない。

（ｋ＋ℓ＋ｍ＋ｎ）⁴＝｛（ｋ＋ℓ＋ｍ＋ｎ）²｝²が４桁になる。
２桁×２桁＝４桁となる範囲を絞る。
30×30＝900（←３桁）に当たりをつけると、（ｋ＋ℓ＋ｍ＋ｎ）²は31以上の２桁の平方数である。
→（ｋ＋ℓ＋ｍ＋ｎ）²は36、49、64、81のいずれか。
（*ｋ＋ℓ＋ｍ＋ｎは６、７、８、９のいずれか）

４通りしかないので調べ上げる。
36²＝1296　→位の和が10以上になる。10⁴＝10000で５桁になってしまう。×
49²＝2401　→位の和が７。ＯＫ
64²＝4096　→10以上
81²＝6561　→同上
（ｋ＋ℓ＋ｍ＋ｎ）²＝49
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