2025年度　サレジオ学院中学過去問【算数】大問３解説

問題ＰＤＦ
整数Ｎの約数の中で、２番目に大きい約数を[Ｎ]と表すことにします。
例えば、 [４] と [15] は [４] ＝２、[15] ＝５となります。
また、記号 [ ]を追加することで、 [[８]] や [[[24]]] は
[[8]] ＝２、[[[24]]] ＝３となります。
このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
[72]＝Ａ、[[54]] ＝Ｂとなるとき、Ａ,Ｂにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

（２）
[[Ｃ]]＝３となるとき、Ｃにあてはまる数をすべて答えなさい。

（３）
[[[[Ｄ]]]] ＝15となるような数Ｄは、全部で何個ありますか。

（２）
[[Ｃ]]＝３
２番目に大きい約数が３となる数を求める。
約数の１番目は１、２番目か３番目に３がくる。
【１、３、〇】→〇＝９
【１、２、３、〇】→〇＝６
[Ｃ]＝６、９

（２番目に大きい約数）×（２番目に小さい約数）＝Ｃ
[Ｃ]＝６は２の倍数なので、２番目に小さい約数は２で確定。
Ｃ＝２×６＝12
[Ｃ]＝９のとき、２番目に小さい約数は２か３しかない。
９の素因数に３があるため、３は必ず登場するから、
【１、２、３…】か【１、３…】の２通り。
Ｃ＝２×９、３×９＝18、27
Ｃ＝12・18・27

（３）
前問の解答に目を向けると、[Ｃ]が偶数の場合は２番目に小さい約数は２で、
２×６＝12しかなかった。つまり、偶数のときは１個しかない。

[Ｃ]が奇数の場合は２番目に小さい約数に２以外の素数がくる。
たとえば、２番目に大きい約数が37であれば、
【１、５、…37、〇】→〇＝５×37＝185
【１、７、…37、〇】→〇＝７×37＝259

しかし、[Ｃ]＝９はＣが９の倍数なので、約数に３が必ず登場した。
[Ｃ]の値が奇数でも３の倍数であれば、２番目に小さい約数は２か３しかない。
[[[[Ｄ]]]] ＝15もＤが15の倍数なので、約数３が登場する。

偶数は偶数がつづく。
奇数は偶数と奇数に分岐する。
４回さかのぼると、Ｄの個数は５個ある。