2024年度 渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問1解説

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1から9までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、全部で9枚あり、

2つの空の袋A、Bがあります。

(1)
はじめに、9枚のカードから1枚のカードを選び、袋Aに入れます。次に、残ったカードから3枚のカードを選び、袋Bに入れます。袋A、Bからカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき、どのカードを取り出しても、取り出した2枚のカードに書かれている数の積が10の倍数となるような、袋A、Bに入れるカードの入れ方は、何通り考えられますか。

(2)
はじめに、9枚のカードから1枚以上4枚以下の好きな枚数のカードを選び、袋Aに入れます。次に、残ったカードから1枚以上4枚以下の好きな枚数のカードを選び、袋Bに入れます。袋A、Bからカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき、どのカードを取り出しても、取り出した2枚のカードに書かれている数の積が10の倍数となるような、袋A、Bに入れるカードの入れ方は、何通り考えられますか。

(3)
はじめに、9枚のカードから1枚以上3枚以下の好きな枚数のカードを選び、袋Aに入れます。次に、残ったカードから1枚以上3枚以下の好きな枚数のカードを選び、袋Bに入れます。袋A、Bからカードをそれぞれ1枚ずつ取り出すとき、どのカードを取り出しても、袋Aから取り出したカードに書かれている数が、袋Bから取り出したカードに書かれている数より6以上大きくなるような、袋A、Bに入れるカードの入れ方は、何通り考えられますか。


@解説@
(1)
1~9の数のうち、必ず積が10の倍数となる組み合わせ→5×〔偶数〕

1枚のAに5を入れる。
3枚のBに偶数を入れる。
4つの偶数から3つを選ぶ→選ばれない1つを選ぶ→=4通り

(2)

積が10の倍数となるには、必ず5を取らなければならない。
片方の袋には5しか入れない
Aに5を入れ、Bに偶数を入れる。Bの枚数で場合分け
1枚→4通り
2枚→=6通り
3枚→(選ばれない1枚を選ぶ)→4通り
4枚→1通り
4+6+4+1=15通り

AとBを入れ替え、Aに偶数、Bに5を入れるパターンを含めると、
15×2=30通り

(3)

AがBより6以上大きくなる。
差が6となる(9~3)(7~1)の組み合わせを意識する。

Aに9だけを入れる⇒Bは3以下になればいい。
3枚のカードそれぞれを入れるか入れないかで、2×2×2=8通り
全部入れないとBに何も無くなるので、8-1=7通り

Aに8を入れる⇒Bは2以下。
Bの組み合わせは、2×2-1=3通り
A側で9を入れるか否かで2通りあるから、3×2=6通り


Aに7を入れる⇒Bは1だけ。
A側で9と8を入れるか否かで、2×2=4通り
合計すると、7+6+4=17通り
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