問題ＰＤＦ
（１）①〔 〕にあてはまる１以上の整数の組は何個ありますか。
11×〔 ア 〕＋23×〔 イ 〕＝2024
②〔 〕にあてはまる１以上の整数の組を１つ答えなさい。
８×〔 ウ 〕＋11×〔 エ 〕＋23×〔 オ 〕＝2024
（２）
現在、時計の針は10時〔 カ 〕分〔 キ 〕秒を指しています。
長針と短針のつくる角度が現在と20分後で変わらないとき、
〔カ〕〔キ〕にあてはまる数を（カ、キ）の形ですべて答えなさい。
ただし、キの値は分数で答えなさい。
（３）
下の図のような正方形のタイルを並べて模様をつくります。
次の形を並べるとき、何通りの模様が考えられますか。
ただし、タイルは回転して使ってもよいですが、裏面は使いません。
また、回転して同じ模様になるものは１つの模様とみなします。
（４）①
下の図のように、１辺の長さが４ｃｍの正三角形ＡＢＣと１辺の長さが３ｃｍの正三角形ＤＥＦがあり、辺ＡＣと辺ＤＥが交わる点をＧとします。三角形ＡＧＤにおいて角Ａの大きさが30°のとき、三角形ＡＧＤと三角形ＧＥＣの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
②
１辺の長さが３ｃｍの正三角形と１辺の長さが４ｃｍの正三角形の面積の和は、１辺の長さが５ｃｍの正三角形の面積に等しいことを、①を利用して説明しなさい。
＠解説＠
（１）①
年度問題。2024＝８×11×23
【11×０＋23×88＝2024】
11と23は互いに素。11×23＝23×11で交換できる。
11の個数を＋23、23の個数を－11して交換していく。
11×23＋23×77
11×46＋23×66
11×69＋23×55
…
11×□＋23×11＝2024
１以上の整数だから、23×（11～77）の７個。
②
11か23の個数を減らして８の倍数をつくる。
11×23＋23×77＝2024→【８×０＋11×23＋23×77＝2024】と付け加え、
前問のように８の個数を＋11、11を－８して交換すると、
８×11＋11×15＋23×77＝2024になる。
ウ…11、エ…15、オ…77
＠余談＠
解答は他にもある。
８と11の交換を再度行うと、８×22＋11×７＋23×77
８と23を１回交換すると、８×23＋11×23＋23×69
11×46＋23×66など他を基準に交換してもＯＫ。
11の倍数と23の倍数をうまく組み合わせて、８の倍数に変換してもできます。
（２）
青線の時刻から20分経過すると赤線の時刻になり、あいだの角が等しくなった。
青線の時刻を求めたい。
計算がしやすいように、長針と短針が特殊な位置関係になるときを考える。
対称軸を意識すると、青線から10分後に長針と短針が一直線になる。
ということは、青線の時刻は長針と短針が一直線になったときから10分前。
10時では長針と短針は300°離れており、一直線＝180°なので、
２つの針の差が300－180＝120°縮まればいい。
１分あたり長針６°、短針0.5°、差は5.5°縮まるから、
120÷5.5－10＝130/11分＝11・９/11分
９/11分＝60×９/11＝540/11＝49・１/11秒
１回目…11分49・１/11秒
２回目は長針が短針を追い越した後に起こる。（11時を過ぎてもOK）
今度の対称軸では長針と短針が一致し、一致から10分前が青線の時刻となる。
10時の300°差が０になる→300÷5.5－10＝490/11分＝44・６/11分
６/11分＝６/11×60＝360/11＝32・８/11秒
２回目…44分32・８/11秒
（11、49・１/11）（44、32・８/11）
（３）①
タイルの向きは２種類ある。それぞれをＡ、Ｂとする。
Ａの枚数で整理。
留意点はＡが２枚のとき、配置が２パターンある。
６通り
②
それぞれのマスにＡかＢのどちらかをいれる。
全体は、２×２×２×２×２＝32通り
ここから回転して重複するものを引き、余事象から求める。
左右逆の並びであれば回転で重複する。左３マスのＡの配置で場合分け。
Ａ＝３は１通り
（ＡＡＡＢＢを回転させたＢＢＡＡＡを除外する）
Ａ＝２は３通り
（ＢＡＡＢＢならば、これを回転させたＢＢＡＡＢを除外）
Ａ＝１は２通りしかない点に注意する！
ＢＢＡＢＢは点対称。点対称は１通りしかなく、重複が発生しない。
１＋３＋２＝６通り
ＡをＢに入れ替えた場合も含めて、除外対象は６×２＝12通り
32－12＝20通り
＠別解＠
次の問題では直接数え上げましたが、本問でもできました。
Ａ＝５、０のとき、１通りずつ。
Ａ＝４、１のとき、Ｂがどこに入るかで５通り。
点対称は１つ。点対称以外は（５－１）÷２＝２通り。点対称を含めて３通りずつ。
Ａ＝２、３のとき、５Ｃ２＝10通り
点対称は２つ。（10－２）÷２＋２＝６通りずつ
全部で、（１＋３＋６）×２＝20通り
③
Ａの枚数で重複パターンを探る。
Ａ＝６（すべてＡ）とＡ＝０（すべてＢ）は１通りずつ。
Ａ＝５枚のとき、配置は６Ｃ５＝６Ｃ１＝６通り
このうち、半分は回転させると重複するので６÷２＝３通り
Ａ＝１枚のときも対称性から３通り。
Ａ＝４枚のとき。全体は６Ｃ４＝６Ｃ２＝15通り
前問のように、点対称の配置では１通りしかなく、除外対象ではない！
点対称は３通りある。
（15－３）÷２＝６通り
点対称を含めて、６＋３＝９通り
Ａ＝２枚も同様に９通り。
全体は、６Ｃ３＝20通り
点対称はなく、20÷２＝10通り
したがって、（１＋３＋９）×２＋10＝36通り
（４）①
△ＡＢＣと△ＤＥＦは正三角形。
長さがわかりにくいので、とりあえず角度を記していく。
意味深な30°を含む△ＡＧＤの内角は30°―60°―90°
正三角形の辺から別の場所に長さを切り替えたい。
ここでＡＣとＤＦが平行であることに着目する。
ＦＤを延長し、Ａを通るＢＦに平行な線との交点をＨとする。
四角形ＡＣＦＨは平行四辺形で、ＨＤ＝４－３＝１ｃｍ
△ＡＤＨの内角を調べると底角が30°で等しい二等辺三角形。
ＡＨ＝１ｃｍ
ＡＨ＝ＣＦ＝１ｃｍ、ＥＣ＝３－１＝２ｃｍ
正三角形の辺を頼りに長さを書いていくと、
上図はなんか変ですが、★は合同な直角三角形である。
△ＡＧＤ：△ＧＥＣ＝１：２
②
ＢＡとＦＤを延長した交点をＩとすると、△ＩＢＦは１辺５ｃｍの正三角形である。
△ＡＢＣ＋△ＤＥＦが重複する△ＧＥＣの面積が四角形ＩＡＧＤに相当すると示せばいい。
四角形ＩＡＧＤは２組の対辺が平行だから平行四辺形。
その対角線ＡＤは平行四辺形を２等分するので、△ＡＤＩ＝★
△ＧＥＣ＝四角形ＩＡＧＤ＝★★だから、
１辺３ｃｍの正三角形＋１辺４ｃｍの正三角形＝１辺５ｃｍの正三角形となる。
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