2018年度 ラ・サール中学過去問【算数】大問6解説


図のような立方体の頂点Aから、3つの点P、Q、Rが同時に出発し、PはA―B―C―G、QはA―D―H―G、RはA―E―F―Gの順に、それぞれ辺上を同じ一定の速さで移動して、12秒後に点Gに着きます。3点P、Q、Rを通る平面でこの立方体を切ったときの切り口の面積をSとするとき、出発して4秒後のSは12cm2でした。このとき、次の場合のSは何cm2ですか。

(1)出発して3秒後

(2)出発して6秒後

(3)出発して7秒後


@解説@
(1)
立方体の1辺の長さ、点の速さはわからないが、
同じ速さで3辺
を12秒で移動したということは、1辺を4秒で通過する

4秒後はPはB、QはD、RはEにあり、
4秒後の△PQR12cm2は、正方形の対角線を1辺とする正三角形BDEとなる。

3秒度と4秒後はともに正三角形で相似。
面積比は辺の比の2乗。
12×(3×3)/(4×4)=27/4cm2

(2)

6秒後のP・Q・Rは中点にくる。
断面は中学受験でお馴染みの正六角形となる。
手がかりは4秒後の正三角形BDEしかないので、
これに平行となるような正三角形を作図する。

BP→BSにもってくる。同様に、DQ→DT、ER→EUに移動。
正三角形STU=12×(6×6/4×4)=27cm2

1辺⑥の正三角形から、1辺②の正三角形3つを引く。
中の面積比は、⑥×⑥-②×②×3=〔24〕
27×〔24〕/〔36〕=18cm2

(3)
前問と同様。
12×(7×7/4×4)=147/4cm2

147/4×23/49=33/2cm2

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