2019年度　栄光学園中学過去問【算数】大問３解説

問題ＰＤＦ
何枚かのオセロのコマ（片面が白、もう片面が黒のコマ）が白黒混ざった状態で円形に並べてあります。このコマに対して、以下の[作業]を、裏返すコマがなくなるまで繰り返します。

[作業]両隣の色が自身の色とは異なるコマをすべて選び、それらを同時に裏返す。

例えば、図１のようにコマが並んでいる場合、まず☆印のついた５つのコマを選び、裏返して図２のようにします。さらに、※印のついた１つのコマを選び、裏返して図３のようにします。図３には、両隣の色が自身の色とは異なるコマはないので、ここで[作業]の繰り返しは終了になります。

（１）
図４のように並んでいるコマに対して、裏返すコマがなくなるまで[作業]を繰り返したとき、最後まで１度も裏返されることのなかったコマをすべて選び、丸で囲みなさい。

（２）
図５、図６のように並んでいるコマに対して、それぞれ裏返すコマがなくなるまで[作業]を繰り返したとき、最後の並び方はどうなりますか。解答欄の図に示しなさい。


（３）
20枚のコマが図７のように並んでいます。これに対して、裏返すコマがなくなるまで[作業]を繰り返したとき、最後に黒は何枚になりますか。

（４）
31枚のコマを、白が16枚、黒が15枚になるように、好きな順番で円形に並べ、[作業]を繰り返します。最後に黒は何枚になりますか。最も多いときと最も少ないときの枚数を答えなさい。

＠解説＠
（１）
次の問題で作業終了時の並び方を求めるので、実際にやってみよう。

初期状態から１回目の作業で裏返さないコマが正解。

（２）
試行錯誤。白丸と黒丸を書くのが面倒なときは、Ａ・Ｂにした方が早いかも。

図５は全部黒になります。

図６は左半分が白で、右半分が黒。

（３）

前問の結果を観察。

固まりがあるところは変わらない。
左は固まりが黒だけで、黒と白が交互になっているところがすべて黒になる。
右は固まりが黒と白で、交互のところが黒白で半分ずつ。

法則さえわかってしまえば、結果は予測できる。
固まりを探す。左の交互は黒に挟まれているからすべて黒。
右上側の交互は黒と白に挟まれているから、黒と白で半分ずつ。
白が５枚なので、黒は、20－５＝15枚

（４）
白16枚、黒15枚、計31枚のコマがあり、
黒を最も多くする、もしくは最も少なくするにはどう配置すべきか。

■黒を最も少なくする。
白が黒より１枚多いので、図５と同じように○○の固まりを１つ作り、
残りを●○●○・・●と交互に配置すれば、すべて白になって黒が０枚となる。

■黒を最も多くする。
交互ゾーンをすべて黒に塗り替えたい。
そのためには交互ゾーンの両端は黒でなくてはならない。
しかし、黒１つだと塗り替えられてしまうので、●●と固まりにしておく。

↑こんな感じ。
交互ゾーンは○●○●････●○となる。
黒は固まりで４枚使ったので、交互ゾーンでは15－４＝11枚。
交互ゾーンの白は、11＋１＝12枚。
左の赤いところで固まる白は、16－12＝４枚
この白は作業後も白のままなので、作業後の黒の枚数は31－４＝27枚

最も多いときの枚数･･･27枚、最も少ないときの枚数･･･０枚
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