2018年度 東海中学入試問題【算数】大問6解説

図1のような平行四辺形ABCDの紙があります。
この紙を点Aと点Bがくっつくようにして、直方体の側面をつくります。
この直方体の底面は正方形で、直方体の体積は243/3cm3です。


(1)
図1のDEの長さを求めなさい。

(2)
図2のように、点Aと点Bが直方体の頂点になるように側面をつくると、
図1のEとFを結んだ線は、直方体の辺の上にある点Pを通ります。

APの長さを求めなさい。


@解説@
(1)
そもそも平行四辺形で直方体の側面なんて作れるのだろうか?(‘Д’)

隣同士の頂点をくっつけると、平行四辺形がグルっとまわって直方体の側面になる。
理由は隣同士の角の和が180°でつなげると一直線になり、
平行四辺形の対辺が等しいのでピタッとすべて接するから。
(試しに紙でやってみよう!円柱が作りやすいです)
平行四辺形は長方形が平行に傾いた四角形で、長方形を巻けば柱となるから、
平行四辺形も同様に柱を作れる。


AとBをくっつけると、AとBは底面の正方形の周りの長さになる。
この正方形の1辺は9÷4=9/4cm
底面積は、9/4×9/4=81/16cm2

直方体の高さは、243/4÷81/16=12cm

↑円柱の高さ12cmを展開図で示すとこうなる。
平行四辺形の面積から、ADの長さを求める。
AD=9×12÷8=27/2cm
よって、DE=27/2-4=19/2cm

(2)
PはAから伸びる垂線上にある。

Aからおろした垂線とCDとの交点をQとする。
AQとEFとの交点をPとなる。
△APE∽△ADQより、AP:AE=AD:AQ
AP=27/2×4/12=9/2cm
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