2020年度 洛星中学入試問題【算数】大問5解説

ウサギとカメが山のふもとから頂上まで競争をします。2匹は同時に一定の速さで走り始めましたが、走り始めて2分後にウサギが昼寝を始めてしまい、その48分後にカメが昼寝をしているウサギを追いこしました。

(1)
ウサギとカメの走る速さの比を、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

しばらくしてウサギが起きました。そのあと、もしウサギがもとの2倍の速さで走れば、3分後にA地点でカメに追いつき、カメより1分24秒早く頂上に着くことができます。

(2)
ウサギが昼寝をしていたのは何分間ですか。

(3)
ふもとからA地点までと、A地点から頂上までの道のりの比を、
もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

ところが実際には、ウサギは1.2倍の速さで走ったので、カメが頂上に着いたとき、
ウサギは頂上から260m手前のところにいました。

(4)
山のふもとから頂上までの道のりは何mですか。


@解説@
(1)
山のふもとからウサギが寝た場所まで、ウサギは2分、カメは50分で着くので、
速さの比は、ウサギ:カメ=50:2=25:1

(2)
1分間にカメが歩く距離を【1】、ウサギが走る距離を【25】とする。
ウサギは昼寝ポイントまで2分で走るので、ふもとから【50】のところで寝た。

ウサギは起きてから2倍速の【50】で3分走り、A地点でカメに追いつく。
昼寝~A地点までの距離:【50】×3=【150】
ふもと~A地点までの距離は【200】で、カメは1分に【1】歩くから、
カメはふもとからA地点まで200分歩いたことになる。
ウサギが走った時間の合計は5分なので、寝ていた時間は195分間。

(3)
A地点からウサギは【50】、カメは【1】の速さで走る。

ウサギが頂上に到着してから、1分24秒=7/5分後にカメが頂上に着く。
カメは1分【1】歩くので距離は【7/5】となり、これが□49に相当する。
A地点~頂上:□50=7/5×50/49=【10/7】
ふもと~A地点:A地点~頂上=【200】:【10/7】=140:1

(4)
前問の図より、ふもと~頂上までの距離は、【200】+【10/7】=【1410/7】
カメは1410/7分間歩き、ウサギは目覚めてから、1410/7-2-195=31/7分走る。
ウサギは起床後、1分に【25】×1.2=【30】の速さで走るので、
ウサギが走った距離の合計は、【50】+【30】×31/7分=【1280/7】
カメが到着したとき、ウサギの残りの距離は【1410/7】-【1280/7】=【130/7】
これが260mにあたる。
260m×【1410/7】/【130/7】=2820m
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