2018年度 洗足学園中学2回目過去問【算数】大問5解説

下の図は、1辺が3cmの正方形ABCDとAB、AE、BEの長さがそれぞれ3cm、4cm、5cmの直角三角形ABEを重ねたものです。点Pは正方形ABCDの辺上を、毎秒1cmの速さでA→B→C→Dの順に移動し、Dで止まります。点Qは直角三角形ABEの辺上を、毎秒1cmの速さでA→E→Bの順に移動し、Bで止まります。PとQが頂点Aを同時に出発するとき、次の問いに答えなさい。

(1) 正解率54.5%
三角形APEの面積と三角形AQCの面積がはじめて等しくなるのは、
出発してから何秒後ですか。

(2) 正解率52.4%
3点A、Q、Cが一直線に並ぶのは、出発してから何秒後ですか。

(3) 正解率5.3%
三角形APEの面積と三角形AQCの面積が2回目に等しくなるのは、
出発してから何秒後ですか。
なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。


@解説@
(1)

△APEは高さが、△AQCは底辺が伸びる。
3秒後にPがBに着くと、△APEは6cm2。△AQCは4.5cm2
→0~3秒の間では面積が等しくならない。
3~6秒で△APEの面積は6cm2で変わらず。
4秒後にQがEにつくと、三角AQCは6cm2になる。
よって、6秒後。

(2)
ここも難しくはないので、正解しておきたい。

△BCQ∽△EAQより、BQ:EQ=BC:EA=3:4
EQ=5×4/7=20/7cm
Qは4+20/7=48/7cm動き、毎秒1cmだから、48/7秒後。

(3)
ラストの設問でクタクタだと思われるが、
面積の変化を調べなくてはならないのでグラフは必須。
(本問は過程を記述するので、洗足の先生も見たいはず)

これが書けないと×確定。
(軸の成分を書き忘れてしまった…縦が面積で横が秒数です)
9秒後のQはBにおり、△AQCは正方形の半分になる。

△ABC∽△DECに注目!
BE=48/7-6=6/7
EC=9-48/7=15/7
BE:EC=6/7:15/7=2:5
AB:DE=7:5なので、DE=6×5/7=30/7

2回目に面積が等しくなる時間をG、グラフの交点をHとする。
△DEH∽△CFHより、
EG:GC=DE:CF=30/7:9/2=20:21
GC=15/7×21/41=45/41
よって、Gの時間は、9-45/41=324/41秒後

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