2018年度　洗足学園中学２回目過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
下の図は、１辺が３ｃｍの正方形ＡＢＣＤとＡＢ、ＡＥ、ＢＥの長さがそれぞれ３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直角三角形ＡＢＥを重ねたものです。点Ｐは正方形ＡＢＣＤの辺上を、毎秒１ｃｍの速さでＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄの順に移動し、Ｄで止まります。点Ｑは直角三角形ＡＢＥの辺上を、毎秒１ｃｍの速さでＡ→Ｅ→Ｂの順に移動し、Ｂで止まります。ＰとＱが頂点Ａを同時に出発するとき、次の問いに答えなさい。

（１）　正解率54.5％
三角形ＡＰＥの面積と三角形ＡＱＣの面積がはじめて等しくなるのは、
出発してから何秒後ですか。

（２）　正解率52.4％
３点Ａ、Ｑ、Ｃが一直線に並ぶのは、出発してから何秒後ですか。

（３）　正解率5.3％
三角形ＡＰＥの面積と三角形ＡＱＣの面積が２回目に等しくなるのは、
出発してから何秒後ですか。
なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

＠解説＠
（１）

△ＡＰＥは高さが、△ＡＱＣは底辺が伸びる。
３秒後にＰがＢに着くと、△ＡＰＥは６ｃｍ²、△ＡＱＣは4.5ｃｍ²
→０～３秒の間では面積が等しくならない。
３～６秒で△ＡＰＥの面積は６ｃｍ²で変わらず。
４秒後にＱがＥにつくと、三角ＡＱＣは６ｃｍ²になる。
よって、６秒後。

（２）

△ＢＣＱ∽△ＥＡＱより、ＢＱ：ＥＱ＝ＢＣ：ＥＡ＝３：４
ＥＱ＝５×４/７＝20/７ｃｍ
Ｑは４＋20/７＝48/７ｃｍ動き、毎秒１ｃｍだから、48/７秒後。

（３）

（軸の成分を書き忘れてしまった…縦が面積で横が秒数です）
９秒後のＱはＢにおり、△ＡＱＣは正方形の半分になる。

△ＡＢＣ∽△ＤＥＣに注目！
ＢＥ＝48/７－６＝６/７
ＥＣ＝９－48/７＝15/７
ＢＥ：ＥＣ＝６/７：15/７＝２：５
ＡＢ：ＤＥ＝７：５なので、ＤＥ＝６×５/７＝30/７

２回目に面積が等しくなる時間をＧ、グラフの交点をＨとする。
△ＤＥＨ∽△ＣＦＨより、
ＥＧ：ＧＣ＝ＤＥ：ＣＦ＝30/７：９/２＝20：21
ＧＣ＝15/７×21/41＝45/41
よって、Ｇの時間は、９－45/41＝324/41秒後
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