2020年度 岐阜県公立高校入試過去問【数学】解説

平均49点(前年比;-5点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1) 93%
9-6÷3
=9-2=7

(2) 75%
4x+2y=6
2y=-4x+6
y=-2x+3

(3) 85%
√27+√3-√12
=3√3+√3-2√3
=2√3

(4) 74%
x=2のとき、y=8
x=5のとき、y=50
変化の割合…(
yの増加量)/(xの増加量)
(50-8)/(5-2)
=42/3=14

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qと変化するときの変化の割合はa(p+q)
2×(2+5)=14

(5) 82%
偶数→一の位が2か4
十の位は何でも良い。
5枚のカードから2枚を選ぶので、確率は2/5。

(6) 36%
弧の長さは直径から求めるから直径を文字に置き換える。

A側の円の直径をdとすると、B側の円の直径は10-d。
弧の長さの和は、d×π÷2+(10-d)×π÷2
=dπ/2+(10-d)π/2=dπ/2+5π-dπ/2=5πcm

線分ABをどう分けようと、弧の合計は直径10cmの半円

大問2(資料問題)

(1) 52%
最頻値(モード)は最もあらわれている値。
20~25分の階級が最も人数が多い。
解答は階級値で求める。
20と25の平均である22.5。

(2) 66%
B中学校の15分未満の度数の合計は30。
30÷100=0.3

(3) 51%
ア:最頻値はAが22.5、Bが17.5。×
イ:39人の中央値は(39+1
)÷2=20番目。Aの中央値は17.5。
 100人の中央値は50番目と51番目の平均。Bの中央値は17.5で同じ。〇
ウ:A…13÷39=0.33… B…30÷100=0.3でAの方が大きい。×
エ:範囲(レンジ)…最大値-最小値。
 度数分布表では階級の幅から最大値と最小値が確定できない。
 しかし、全体でみるとAは5分以上35未満、Bは0以上40未満でBの範囲が広い。〇
イ・エ

@@

親子中学数学より。
度数分布表の範囲については複数の説がある模様。
テストでは本問のような明らかな形で出題されるので、とくに覚える必要はなし。


大問3(整数)

(1) ア53% イ56% ウ34%

上下では下、左右では右の方が数値が大きい
3マスの大小関係から位置関係を即答したい。
(ア)x-7
(イ)x+1

③より、
(x-7)2+x2=(x+1)2
2-14x+49+x2=x2+2x+1
2-16x+48=0
(ウ)x2-16x+48=0

(2) 34%
前問の式を解く。
2-16x+48
=(x-4)(x-12)=0

2番目に小さい数をxとしている点に注目!
2番目に小さい数は最も小さい数の下にあるので2週目以降
すなわち、xは1週目の1~7ではない。
x=12
2番目の数は12。
3つの数は5、12、13。

大問4(数量変化)

(1) ア79% イ25%!
A側は高さ30cmまでは比例で上昇。
30×6/10=18cm
ア…18

30cmを超えると、A側の水がB側にはいる。

10分後の様子。
管aとbの給水速度は等しいので、AとBの水の体積は等しい。
奥行きは同じだから、うえの立面図でいえばAとBの長方形の面積が等しい。
底面積はA:B=1:2
高さは逆比でA:B=2:1
B側の水面の高さはしきりの半分

★の面積が等しい。
管が1つだけだと10分かかるが、10分後からは管2つで★を埋めるので、
時間は半分の5分。
すなわち、15分後にA・Bの水面の高さは30cmとなる。
イ…30

(2) 31%!

10分でしきりの30cmまで上昇。
5分間はB側に水がはいり変わらず。20分後に満水の40cm。

(3) ア70% イ22%!

前問のグラフを利用する。
(ア)3x(イ)2x

(4) 12%!!

グラフにBを書き込んでみると、最初と15分前が怪しい・・。

10分後にAとBの差が15cmになる。
差が比例で広がっていくことに注目して、
10分×2/15=4/3分=1分20秒

10分後~15分後の5分間で差の15cmが0になる
15分から時間を巻き戻すと、5分で15cmの差が生まれる。
2cmの差が生まれる時間は、5分×2/15=2/3分=40秒
15分-40秒=14分20秒後
1分20秒後、14分20秒後


大問5(平面図形)

(1) 59%
△ADB≡△AECの証明。

2つの直角二等辺三角形から2辺が等しいので、あいだの角に全集中。
90°から∠BAEをひくとの角度が等しい。
2辺とあいだの角相等で合同。

(2)ア 69%
直角二等辺三角形ADEの辺の比は1:1:√2。
DE=3√2cm 

(イ) 4%!!
BDという中途半端なところを求める(´~`)
しかし、BDを1辺とする直角三角形が見つからない…。
つまったら角度の調査を行おう!

△ABCは直角二等辺
AからDCに垂線をおろし、交点をFとする。
△ABFも直角二等辺で、1:1:√2からAF=BF=1cm

BD=xとして、
△ABFで三平方
(x+1)2+12=33
2+2x-7=0

解の公式を適用。
x>0より、x=-1+2√2
ー1+2√2cm
前問の誘導なしで解けてしまった(;’∀’)

@@
YAさん(@r21h238ya)より。
△ABFの三平方でDF=2√2といったん出したうえで、
DB=DF-BF=2√2-1cmとした方が短時間で処理できます。

@別解@
公式解説にあった円周角の定理の逆はこういうことだと思う↓

合同から∠ADC=∠AEC(
『2点D、Eが直線ACについて同じ側にあるとき、
∠ADC=∠AECだから、4点A、D、E、Cは同一円周上にある』。
円周角定理で、∠DAE=∠DCE=90°が導ける。

前問の合同からBD=CE=xとして、△CDEで三平方。
2+(x+2)2=(3√2)2
これを解いて、x=-1+2√2

@@

円周角の定理の逆を使わなくても、∠ABC=45°から∠ABD=135°
合同で∠ACE=135°で、∠DCE=135-45=90°が導ける。

大問6(規則)

(1)(ア) 28%!

黒の碁石の縦の個数を見ると…
1→3→5…
4回目の黒の縦は7個。
これが2列できるので14個。

(イ)27%!
正方形の1辺の個数は〔黒の縦の個数+2〕。
4回目の正方形の1辺は7+2=9個。
これが横に2行できるので18個。

(2) 52%
正方形の1辺の個数は…
3→5→7…
したがって、n回目は
2n+1個。
*2n-1ではないよ!
奇数は2n-1だが、1回目の操作で3個なので最初の1は含まない
n=1のときに値が3でなくてはならないので2n+1となる。

(3) ア67% イ29%! ウ33% エ19%!
着眼点が独特(;´Д`A “
ア:問題文の図を観察。
1回目の操作で新たな黒は2個、新たな白は6個。
2回目の操作で新たな黒は6個、新たな白は10個。
新たにできる碁石の数は、常に黒より白が4個多い。
4個

イ:難所。
白の個数は(1+A+イ)個。
この1は始めに置かれた1個。Aが黒の数。それ以外がイとなる。 
↑新たに並べられた黒と同数の白を赤枠で囲ってみた(‘Д’)
左上のはじめの1個を除くと、青枠の4個が黒より多い白の個数
Aの形は複雑だが黒のAと相殺して無視すると、4個のグループが増えていく。
黒より多い白の個数4個は、n回目の操作でnグループ作られるので4n個
白の個数は合計で(1+A+4n)個となる。
4n

ウ:(2)で正方形1辺が2n+1個だから、全体の碁石の個数は(2n+1)2
(2n+1)2

エ:式を解く。
A+(1+A+4n)=(2n+1)2
2A+4n+1=4n2+4n+1
A=2n2

(4) 14%!
白の個数は1+A+4n個。
前問よりA=2n2だから、これを代入した2n2+4n+1を求めればいい。
n=20を代入して、881個。

@余談@
全体が(2n+1)2個。
黒は縦の個数が1、3、5…と奇数で増えていくが、
奇数の和で捉えると、1、4、9…と平方数になる
これが2列あるので、n回目の黒の個数は2n2個。
n回目の白の個数は、(2n+1)2-2n2=2n2+4n+1個。
これが最も思いつきやすいルートかと。。

以下、公式解答を適宜参照。
大問1
(5)十の位は何でも良い。何でも良い要素は無視。一の位だけを考える。
(6)無解答が多かった。特殊な出し方だが基本は変わらない。
大問2
(1)誤答では20~25が多かった。階級値の概念を忘れずに!
(3)誤答はウが多かった。
大問3
(1)『条件の文章がやや難解であったため、条件を正しく読み取ることができていない解答や、無解答が多かった』。最初でつまづくと点差が開く。要点をつかむのは読解力。
大問4
(1)『誤答には10分後から20分後まで、A側の水面の高さが一定の割合で高くなるものと考えて、(1)イでは35としたもの、(2)では(10、20)と(20、40)を直線で結んだもの、(3)イではy=x+20としたものが多かった』。
水槽の問題は正面から見た図を作成すること!何分後にどこの空間が埋まるかを把握する。
(4)無解答が多かった。
大問5
(1)誤答は∠DABと∠EACがともに90-∠BAEになることを適切に表現できていない。
(2)イ無解答多し。
大問6
(1)誤答は、n回目の操作で碁石を並べ直すものと捉え、ア32個、イ49個が多かった。
(3)誤答は、n回目の操作で白が黒より(4n+1)個多くなることが求められなかった。
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