2019年度 京都府立高校過去問【中期】数学解説

問題はコチラ→リセマムさん
前期はコチラ
前期の方が難しかったかな?

大問1(小問集合)

(1)
(-6)2-42÷2
=36-8=28

(2)
(3a+1)/4-(4a-7)/6
={3(3a+1)-2(4a-7)}/
12
=(a+17)/12

(3)
√27+√24×√8
=3√3+2√6×2√2
=3√3+4√12
=3√3+8√3=11√3

(4)
代入法を採用…
9(2+y)-5y=2
4y=-16
y=-4
x=2+(-4)=-2
x=-2、y=-4

(5)
3a2-24a+48
=3(a2-8a+16) ←はじめに共通因数3でくくることね!
=3(a-4)2

(6)
傾きが-2/3で、(-6、2)を通過する一次方程式。
2=-6×-2/3+b
b=-2
y=-2/3x-2

(7)

中心角150°で4πcm。これが360°で円周。
4π×360/150=48/5πcm

(8)
『少なくとも1枚は表』→全体-全て裏
全体…23=8通り
1-1/8=7/8

大問2(標本調査)

(1)
29個の中央値(メジアン)は、
(29+1)÷2=15番目のところ。
階級でいえば、〔6~12〕分。
階級値は階級の真ん中の値→9分

(2)

ぬりつぶすヤツおるんか( ´д)ヒソ(´д`)ヒソ(д` )
資料が昇順にそろっているのでありがたい。
以上~未満に気を付けること!

(3)
正誤判定。完全解答(´゚д゚`)
ア:18分未満は1組22人、2組21人。2組の方が少ない。×
イ:24以上は1組2人→2/29、2組2日→2/30。1組の方が割合が大きい。〇
ウ:1組6~18分→17人、2組12~24分→17人。等しい〇
エ:1組の0~6分は5人いるが、その中で3分未満がいるかもしれない。×
オ:問題はココ(;´Д`)
 3年1組は個別の数値がわからないので、エと同様にわからないように思える。
 試しに18分以上を数えると、1組が7人、2組が9人で計16人。
 ちょうど16人いるので、大きい方から数えて16番目は2組の18分の人。〇


大問3(立体図形)

(1)
球の表面積。S=4πr2
S=4π×(3/2)2=9πcm2
EFの長さは次の問題の図参照。
5/3+4=17/3cm

(2)
X…球の体積V=4/3πr3
4/3π×(3/2)3=9/2πcm3

Y…円柱と円錐を組みわせた図形になる。

円錐の高さは三平方で4。
2×2×π×5/3+2×2×π×4×1/3
=12πcm3

X:Y=9/2π:12π=3:8

大問4(二次方程式)

自動車学校でも習う制動距離が題材。
(1)
制動距離y=ax2
0.5=22
4a=1/2
a=1/8
y=1/8x2

『yの増加量はxの増加量の何倍か』→変化の割合を求めればいい。
x=5のとき、y=25/8
x=7のとき、y=49/8
(49/8-25/8)/7-
5=3/2倍

y=ax2でxの値がp→qに増加するとき、
変化の割合はa(p+q)であることから、
1/8×(5+7)=3/2…でもOK!

(2)
秒速xmとする。
1.5x+1/8x2=13.5
2+12x-108=0
(x+18)(x-6)=0
x>0より、x=6 →秒速6m

大問5(平面図形)

(1)

長方形の対角線は各々の中点で交わるので、二等辺の底角が等しい。
錯角でもう1つ。折り返しでもう1つ。
ア・オ・カ
(∠GAFも同じ大きさ)

(2)
長方形の縦横がわからず、直角が少なくて三平方が使えない(´゚д゚`)
BGをxとする。

前問の角度をヒントにすると2角が等しく、△HBC∽△HGC
HB:HC=HC:HG
x+8:12=12:8
8(x+8)=122
8x=80
x=10  BG=10cm

@余談@
仮に△HBC∽△HGCを見つけられなかったらどうしよう…。
HD=x-8

前問の等しい角度から、△HCG∽△HDF(2角相等

FHに注目。
HC:HG=HD:HFより、
FH=(x-8)×8/12 …まだ計算しない
さらに、△HBC∽△HDFから、
HB:HC=HD:HFより、
FH=(x-8)×12/(x+8) …まだ計算しない
FHの長さで等式。
(x-8)×8/12=(x-8)×12/(x+8)←両辺に÷(x-8)
2/3=12/(x+8)←両辺を3倍
2=36/(x+8)←両辺を(x+8)倍
2(x+8)=36
2x=20 x=10
…ま~めんどくさい(;^ω^)
やはり、△HBC∽△HGCを見つけられるか否かがカギとなる。

(3)
当たり前だが、前問の攻略が前提条件。
△HGCの3辺は8:10:12。
△HCBより、BC=10×18/12=15

△DBCで三平方。DC=5√7
やっと出せる(´∀`)-3

長方形→△ACD(半分)→△FCD→△DFH
15×5√7×1/2×1/9×1/10=
5√7/12cm2


大問6(規則)

(1)例題のm=3をまねて、m=4をやってみる。

横は4+1=5
縦は4×3+1=13
全体…5×13=65個

周りの白は、
(13+5)×2-4=32
*各辺の足すと四隅が重複するので-4をしている。
中の白は、右に1、下に4。3つある。
白…32+3=35個

黒…全体-白=65-35=30個

(2)
文字を使って、規則を一般化する。


全体…(3m+1)(m+1)
周りの白…(3m+1+m+1)×2-4=8m
中の白…m-1
白の合計…8m+m-1=9m-1
したがって、9m-1=458
m=51

全体…(3×51+1)(51+1)=8008
黒…8008-458=7550
黒の個数を一般化すると、全体-白=3m2-5x+2個となります。

前半で点をガポガポ稼いでおきたい。
共通角→相似のコンボは頭に染み込ませておこう。
ラストの規則はよくある形式なので、演習で慣れておきたい。

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