2020年度　岐阜県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均49点（前年比；－５点）

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大問１（小問集合）

（１）　93％
９－６÷３
＝９－２＝７

（２）　75％
４ｘ＋２ｙ＝６
２ｙ＝－４ｘ＋６
ｙ＝－２ｘ＋３

（３）　85％
√27＋√３－√12
＝３√３＋√３－２√３
＝２√３

（４）　74％
ｘ＝２のとき、ｙ＝８
ｘ＝５のとき、ｙ＝50
変化の割合…（ｙの増加量）/（ｘの増加量）
（50－８）/（５－２）
＝42/３＝14

＠別解＠
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値がｐ→ｑと変化するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
２×（２＋５）＝14

（５）　82％
偶数→一の位が２か４
十の位は何でも良い。
５枚のカードから２枚を選ぶので、確率は２/５

（６）　36％
弧の長さは直径から求めるから直径を文字に置き換える。

Ａ側の円の直径をｄとすると、Ｂ側の円の直径は10－ｄ。
弧の長さの和は、ｄ×π÷２＋（10－ｄ）×π÷２
＝ｄπ/２＋（10－ｄ）π/２＝ｄπ/２＋５π－ｄπ/２＝５πｃｍ

線分ＡＢをどう分けようと、弧の合計は直径10ｃｍの半円である。

大問２（データの活用）

（１）　52％
最頻値（モード）は最もあらわれている値。
20～25分の階級が最も人数が多い。
解答は階級値で求める。
20と25の平均である22.5。

（２）　66％
Ｂ中学校の15分未満の度数の合計は30。
30÷100＝0.3

（３）　51％
ア：最頻値はＡが22.5、Ｂが17.5。×
イ：39人の中央値は（39＋１）÷２＝20番目。Ａの中央値は17.5。
100人の中央値は50番目と51番目の平均。Ｂの中央値は17.5で同じ。〇
ウ：Ａ…13÷39＝0.33…　Ｂ…30÷100＝0.3でＡの方が大きい。×
エ：範囲（レンジ）＝最大値－最小値。
度数分布表では階級の幅から最大値と最小値が確定できない。
しかし、全体でみるとＡは５分以上35未満、Ｂは０以上40未満でＢの範囲が広い。〇
イ・エ

＠＠

親子中学数学より。
度数分布表の範囲については複数の説がある模様。
テストでは本問のような明らかな形で出題されるので、とくに覚える必要はない。

大問３（整数）

（１）　ア…53％、イ…56％、ウ…34％

上下では下、左右では右の方が数値が大きい。
３マスの大小から位置関係を即答したい。
（ア）ｘ－７
（イ）ｘ＋１

③より、
（ｘ－７）²＋ｘ²＝（ｘ＋１）²
ｘ²－14ｘ＋49＋ｘ²＝ｘ²＋２ｘ＋１
ｘ²－16ｘ＋48＝０
（ウ）ｘ²－16ｘ＋48＝０

（２）　34％
前問の式を解く。
ｘ²－16ｘ＋48
＝（ｘ－４）（ｘ－12）＝０

２番目に小さい数をｘとしている点に注目！
２番目に小さい数は最も小さい数の下にあるので２週目以降。
すなわち、ｘは１週目の１～７ではない。
ｘ＝12
２番目の数は12。
３つの数は５、12、13。

大問４（数量変化）

（１）　ア…79％、イ…25％！
Ａ側は高さ30ｃｍまでは比例で上昇。
30×６/10＝18ｃｍ
ア…18

30ｃｍを超えると、Ａ側の水がＢ側にはいる。

10分後の様子。
管ａとｂの給水速度は等しいので、ＡとＢの水の体積は等しい。
奥行きは同じだから、うえの立面図でいえばＡとＢの長方形の面積が等しい。
底面積はＡ：Ｂ＝１：２
高さは逆比でＡ：Ｂ＝２：１
Ｂ側の水面の高さはしきりの半分。

★の面積が等しい。
管が１つだけだと10分かかるが、10分後からは管２つで★を埋めるので、
時間は半分の５分。
すなわち、15分後にＡ・Ｂの水面の高さは30ｃｍとなる。
イ…30

（２）　31％！

10分でしきりの30ｃｍまで上昇。
５分間はＢ側に水がはいり変わらず。20分後に満水の40ｃｍ。

（３）　ア…70％、イ…22％！

前問のグラフを利用する。
（ア）３ｘ（イ）２ｘ

（４）　12％！

グラフにＢを書き込んでみると、最初と15分前が怪しい・・。
10分後にＡとＢの差が15ｃｍになる。
差が比例で広がっていくことに注目して、
10分×２/15＝４/３分＝１分20秒

10分後～15分後の５分間で差の15ｃｍが０になる。
15分から時間を巻き戻すと、５分で15ｃｍの差が生まれる。
２ｃｍの差が生まれる時間は、５分×２/15＝２/３分＝40秒
15分－40秒＝14分20秒後
１分20秒後、14分20秒後

大問５（平面図形）

（１）　59％
△ＡＤＢ≡△ＡＥＣの証明。

２つの直角二等辺三角形から２辺が等しいので、あいだの角に集中する。
90°から∠ＢＡＥをひくと★の角度が等しい。
２辺とあいだの角相等で合同。

（２）ア　69％
直角二等辺三角形ＡＤＥの辺の比は１：１：√２。
ＤＥ＝３√２ｃｍ　

（イ）　４％!!
ＢＤという中途半端なところを求める(´～`)
しかし、ＢＤを１辺とする直角三角形が見つからない…。
角度の調査を行う。

△ＡＢＣは直角二等辺。
ＡからＤＣに垂線をおろし、交点をＦとする。
△ＡＢＦも直角二等辺で、１：１：√２からＡＦ＝ＢＦ＝１ｃｍ

ＢＤ＝ｘとして、△ＡＢＦで三平方。
（ｘ＋１）²＋１²＝３³
ｘ²＋２ｘ－７＝０

解の公式を適用。
ｘ＞０より、ｘ＝－１＋２√２
ＢＤ＝ー１＋２√２ｃｍ
前問の誘導なしで解けてしまった。

＠＠
ＹＡさん（@r21h238ya）より。
△ＡＢＦの三平方でＤＦ＝２√２といったん出したうえで、
ＤＢ＝ＤＦ－ＢＦ＝２√２－１ｃｍとした方が短時間で処理できます。

＠別解＠
公式解説にあった円周角の定理の逆はこういうことだと思う。

合同から∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＣ（●）
『２点Ｄ、Ｅが直線ＡＣについて同じ側にあるとき、
∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＣだから、４点Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｃは同一円周上にある』。
円周角定理で、∠ＤＡＥ＝∠ＤＣＥ＝90°が導ける。

前問の合同からＢＤ＝ＣＥ＝ｘとして、△ＣＤＥで三平方。
ｘ²＋（ｘ＋２）²＝（３√２）²
これを解いて、ｘ＝－１＋２√２

＠＠

円周角の定理の逆を使わなくても、∠ＡＢＣ＝45°から∠ＡＢＤ＝135°
合同で∠ＡＣＥ＝135°で、∠ＤＣＥ＝135－45＝90°が導ける。

大問６（規則）

（１）（ア）　28％！

黒の碁石の縦の個数を見ると、
１→３→５…
４回目の黒の縦は７個。
これが２列できるので14個。

（イ）　27％！
正方形の１辺の個数は〔黒の縦の個数＋２〕
４回目の正方形の１辺は７＋２＝９個
これが横に２行できるので18個。

（２）　52％
正方形の１辺の個数は、
３→５→７…
したがって、ｎ回目は２ｎ＋１個。
*２ｎ－１ではない！
奇数は２ｎ－１だが、１回目の操作で３個なので最初の１は含まない。
ｎ＝１のときに値が３でなくてはならないので２ｎ＋１となる。

（３）　ア…67％、イ…29％！、ウ…33％！、エ…19％！
着眼点が独特(;´Д`A
ア：問題文の図を観察。
１回目の操作で新たな黒は２個、新たな白は６個。
２回目の操作で新たな黒は６個、新たな白は10個。
新たにできる碁石の数は、常に黒より白が４個多い。
４個

イ：難所。
白の個数は（１＋Ａ＋イ）個。
この１は始めに置かれた１個。Ａが黒の数。それ以外がイとなる。 
↑新たに並べられた黒と同数の白を赤枠で囲ってみた。
左上のはじめの１個を除くと、青枠の４個が黒より多い白の個数。
Ａの形は複雑だが黒のＡと相殺して無視すると、４個のグループが増えていく。
黒より多い白の個数４個は、ｎ回目の操作でｎグループ作られるので４ｎ個。
白の個数は合計で（１＋Ａ＋４ｎ）個となる。
４ｎ

ウ：（２）で正方形１辺が２ｎ＋１個だから、全体の碁石の個数は（２ｎ＋１）²個
（２ｎ＋１）²

エ：式を解く。
Ａ＋（１＋Ａ＋４ｎ）＝（２ｎ＋１）²
２Ａ＋４ｎ＋１＝４ｎ²＋４ｎ＋１
Ａ＝２ｎ²

（４）　14％！
白の個数は１＋Ａ＋４ｎ個。
前問よりＡ＝２ｎ²だから、これを代入した２ｎ²＋４ｎ＋１を求めればいい。
ｎ＝20を代入して、881個。

＠余談＠
全体が（２ｎ＋１）²個。
黒は縦の個数が１、３、５…と奇数で増えていくが、
奇数の和で捉えると、１、４、９…と平方数になる。
これが２列あるので、ｎ回目の黒の個数は２ｎ²個。
ｎ回目の白の個数は、（２ｎ＋１）²－２ｎ²＝２ｎ²＋４ｎ＋１個
これが最も思いつきやすいルートかと。