2020年度 愛媛県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(計算)

(1)
-5+2=-3

(2)
3(4a-3b)-6(a-1/3b)
=12a-9b-6a+2b
=6a-7b

(3)
4x2y×3y÷6x2
=2y2

(4)
(2√5+1)(2√5-1)+√12/√3 ←うしろの項は根号の中を約分
=(2√5)2-12+√4
=20-1+2=21

(5)
(x-4)(x-3)-(x+2)2
=x2-7x+12-x2-4x-4
=-11x+8

大問2(小問集合)

(1)
-12/a-b2
=-12/2-(-3)2
=-6-9
=-15

(2)
2+2x-35
=(x+7)(x-5)=0
x=-7、5

(3)
反比例はy=a/x
比例定数a=-6を代入。
式;y=-6/x

反比例なので双曲線を描く。
xとyの積は-6で一定
a<0だから、第2象限と第4象限となる。

(4)①
愛媛だからミカン🍊の糖度が題材に。
ア=40-(2+13+12+9)=4


糖度11~13度は40個中25個の割合。
8000×25/40=5000個

(5)
6枚から2枚を選ぶ→62=15通り

負の数の-3か-2をとると、和が正にならない可能性がでてくる。
そこで、和が負か0になる場合を求めて全体から引く。
-3をひく
もう1枚は何をとっても負か0になる→5通り。
◆-2をひく
もう1枚は0~2→3通り。(-3は先ほどカウント済み)
以上8通り。

和が正になる場合は15-8=7通り
確率は7/15。

(6)

『2点A、Bから等しい距離にある』→ABの垂直二等分線
『Cから最も近いP』→Cを通る垂線、交点がPとなる。

(7)
解答では過程も記述する。

まずは邪魔な赤ピーマンを除外
大根とレタスの重さの合計は、175-50=125g

カロリーは1gあたりに直すこと!
赤ピーマンは1gあたり0.3kcalなので、
大根とレタスの熱量の合計は、33-0.3×50=18kcal

大根をxg、レタスをygとすると、
x+y=125
0.18x+0.12y=18
これを解いて、x=50、y=75
大根…50g、レタス…75g


大問3(文字式)

(1)
扇形は円の一部。中心角の処理は時間で考えよう!
円を1周するのに16分。4分間乗るので、
20×2×π×4/16=
10πm

(2)①
今度はゴンドラの台数で考える。
1周24台で16分かかる。
8台では、16分×8/24=16/3分後



24台のうちの8台だから、太郎と花子は円の1/3離れている。中心角は120度
この位置関係で時計回りに回ると、右図で高さが等しくなる。

円の中心を通る、地面に平行な直線を引く。
左右対称の図形だから、(180-120)÷2=30°
内角が30°-60°-90°の直角三角形は辺の比が1:2:√3
→直角三角形の高さは10m。
10+20+5=35m

(3)
発想力がとわれる( ˘ω˘ )
これもゴンドラの台数で考える。

太郎とまことのあいだがn台。
観覧車1周は16分で24台まわる。
t分後のゴンドラの台数は、24台×t/16=3/2t台
この3/2t台は、まことと太郎が同じ高さになったときのP~太郎までの台数

対称性から、反時計回りにPからまことまでの台数も3/2t台
3/2t+3/2t-n=24
3t=n+24
t=1/3t+8

大問4(数量変化)

(1)

図に書き込んでみよう。
■x=1のとき
y=2×1÷2=1

■x=4のとき
y=6×4÷2=12

(2)
正方形ABCDの周の長さは24cm。
言い換えれば、PとQは24cm離れた状態から毎秒3cmずつ近づいていく。
24÷3=8秒後

(3)
変化するポイントごとに調べる。

0~3秒は底辺と高さがともに伸びる。△APQは放物線で増加。
3~6秒はAQを底辺とすると底辺のみ毎秒1cmずつ伸びる。
高さは6cmで変化なし。面積は比例で増加。
6~8秒はPQを底辺とすると底辺が毎秒3cmずつ縮む。
高さは6cmで変化なし。面積は比例で減少(3~6秒の傾きの-3倍)。

(4)

3秒後の△APQの面積は6×3÷2=9cm3だから、3秒より前に1つある。
AQ=xとすると、AP=2x。
2x×x÷2=6
2x2=12
x>0より、x=√6

QP=2cmになれば、△APQの面積は6cm2となる。
PとQの速さの比から、DQ:PC=①:②
DQ=(6-2)×①/③=4/3cm
Qの移動距離は、6+4/3=22/3cm
Qは毎秒1cmなので、22/3秒後。
x=√6、22/3


大問5(平面図形)

(1)①
『△AFCと△BEC』とあるので、もしこれらが合同であった場合、
AFに対応する辺を選べばいい。
BE
*うしろの証明を終わった後に戻ってきても可。


△AFC≡△BECの証明。

仮定からAC=BC
弧CDに対する円周角で∠CAF=∠CBE
直径に対する円周角から∠ACF=90°
反対側の角度である∠BCE=180-90=90°
以上から、1辺と両端角が等しく合同。

(2)

△ABE=40cm2、△ABF=20cm2
前問より△AFC≡△BECだから、おのおの10cm2

面積しかわかっていないので、どこかの長さを確定したい。
△ABCが直角三角形であることを利用しよう
AC×AC÷2=30
AC2=60
AC=2√15cm

CF:FBは△ACFと△AFBの面積比に等しい
CF:FB=10:20=①:②
AC=BC=③

△ACFで三平方。
AF2=①2+③2=⑩2
AF=〇√10

したがって、AFの長さは、
2√15×√10/3
=10√6/3cm

大問1
全問死守!
死守!死守!
大問2
基本問題が多い。
(7)類題が去年のどっかの公立高校にあった。
大問3
愛媛はここで変なことをする(‘Д’)
時間と台数の割合計算は正確に!
(2)②図を描くべし。1/3円→有名直角三角形の活用。
(3)解きにくい。ここも図を描いてとっかかりを掴む。
他にもやり方ありそう。
大問4
よくある数量変化の問題。
(3)コーナーを曲がると変化する。
(4)解説は算数で書きました( ˘ω˘ )
大問5
この形もどこかの公立高校で見かけた。
(2)面積しかわかっていないので、確定できる長さに狙いを絞る。
直角が大きなヒント。
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