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2024年度 長崎県公立高校入試問題過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
3-2×(-1/2)
=3+1
=4

(2)
√48+3/√3
=4√3+√3
=5√3

(3)
家~学校…5km
家~本屋…3akm
本屋~学校…5-3akm

(4)
2x-y=5 …①
3x+2y=-3 …②
①×2+②をすると、7x=7
x=1
①に代入、2-y=5
y=-3
x=1、y=-3

(5)
2-3x-4
=(x+1)(x-4)=0
x=-1、4

(6)
当たりの確率は、40本中2本。
600×2/40=30本

(7)
年度問題。
2024を素因数分解すると、2024=23×11×23

先ほどの素因数を分子の積にあてると、6が不要。
分母は6。

(8)
中心角は円周角の2倍→108×2=216°
x=360-216=144°

(9)
3×3×π×5=45πcm3

(10)

①∠ABCの二等分線
②Aからの距離が最も短い→Aを通る垂線
交点●がP。

大問2(小問集合2)

問1(1)
5月の4点以下は、3+7=10人

(2)

5月と6月の散らばりの程度はどちらが大きいかを説明する。
四分位範囲でもいいが、わかりやすいのは範囲(=最大値-最小値)
5月…8-3=5点
6月…9-1=8点
6月の方が範囲が大きいので、散らばりの程度も大きい。

@@
四分位範囲(=第3四分位数-第1四分位数)
5月…7-4.5=2.5点、6月…8-3.5=4.5点

(3)
①:最頻値は最もあらわれている値。5月…6点、6月…3点で5月が大きい。×
②:40人の中央値は20番目と21番目の平均。5月…6点、6月…6点で同じ。×
③:個々のデータの変動の仕方は、度数分布表ではわからない。×
④:個々の変動の仕方はわからないが、5月の3点以下は3人、6月の3点以下は10人。
5月の3点以下の3名が6月で3点以下であったとしても
残りの7名は5月が4点以上で6月が3点以下になる→7人は得点が下がったといえる。〇

問2(1)
確率なので、①④のように「必ず」「常に」とは言えない。
②1が連続で出なかったからといって、その後の操作で1が出やすくなるとは限らない。
大数たいすうの法則…試行回数を増やしていくほど、ある事象が発生する割合が一定の値に近づいていく。
操作を回数を増やすと、1が出る割合は1/6に近づいていく。

(2)ア
6枚から2枚取り出す組み合わせ→62=15通り
和が3の組み合わせ→(1、2)の1通り
率は1/15


組み合わせの数が、15×1/5=3通りになればいい。
和が7の組み合わせが
(1、6)(2、5)(3、4)の3通り。

問3
3つの数の中で一番小さい数をnとすると、残りはn+7、n+8。
3の倍数であることを証明したいので、3でくくる形にもっていく。
n+(n+7)+(n+8)
=3n+15
=3(n+5)
n+5は整数だから、3(n+5)は3の倍数。


大問3(関数)

問1
y=x2にx=2を代入。
y=22

問2
x=0のとき、最小値y=0
x=2のとき、最大値y=4
0≦y≦4

問3
A(-1、1)→B(2、4)
右に3、上に3だから傾きは1。
切片はAから右に1、上に1移動して1+1=2
y=x+2

問4(1)

Qはy=x+2上の点→Q(t、t+2)
Rはy=x2上の点→R(t、t2
QR=(t+2)-t2=-t2+t+2

(2)
2QR=PR
2(-t2+t+2)=t2
3t2-2t-4=0
解の公式を適用。0<t<2だから、t=(1+√13)/3

大問4(空間図形)

問1
△ACDは等辺4cmの直角二等辺。
辺の比は1:1:√2だから、AC=4√2cm

問2(1)

△BCFの底辺はCF=2cm、高さはBD=4cm
面積は2×4÷2=4cm2

(2)
E、Fは中点にある。
中点連結定理から、EF=4÷2=2cm
三角錐E―BCFの体積は、4×2÷3=8/3cm3

問3

最短距離なので展開図を作成。
EからDAに垂線をひき、足をGとする。
△CAD∽△EAGから、GはDAの中点→EG=DG=2cm
△BEGで三平方→BE(BF+FE)=2√10cm


大問5(平面図形)

問1

△ABC∽△DBAより、
△ABCが二等辺だから△DBAも二等辺
AD=BD=3cm

問2
AからBCに垂線をひくと、交点のHはBCの中点
DH=8÷2-3=1cm
△ADHで三平方→AH=2√2cm
△ABHで三平方→AB=
2√6cm

問3(1)
△CAD∽△BDEの証明。

仮定より、∠DCA=∠EBD
仮定より、∠ADB=∠DEAで、
∠CDA=180°-∠ADB、∠BED=180°―∠DEA
よって、∠CDA=∠BED(
2角が等しいので∽。

ア…180°、イ…∠BED、ウ…2組の角

(2)

前問の∽より、AD:DC=DE:EB=③:⑤

等角に目を凝らすと、2角相等で△ABC∽△DBA∽△EDAの相似が連なる
△EDAも二等辺だから、ED=EA=③
AE:EB=3:5

(3)

求めにくい位置関係にある。
前問の解答に目を凝らすと、AE:EB=BD:DC=3:5とそろっている…。

△ABC全体の面積を⑧とすると、AE:EB=△ACE:△ECB=③:⑤
BD:DC=△ABD:△ADC=③:⑤
△ACEと△ABDはともに③で等積である


△ACEと△ABDから共通部分の△AEFをひくと
残りの△ACFと四角形BDFEも等積である

△ACF:四角形BDFE=1:1

大問6(整数)

問1

図2を活用。8910の4段目は0(ア)

『1000や2000などの自然数』に着目する。
下3桁が000のとき、千の位が4段目の数にあたる
1000~9000→1~9の9通り。アで0はあったから10通り(イ)

各位の数が異なる4桁では、0~9のうちいずれか1つがないという。
最小値0か最大値9に狙いを定める。
最小値0は差が0→同数であればいい。
最大値9は差が9→(9、0)の組み合わせしかない。
4段目からさかのぼると、9は9・0に分かれて0の隣は0→最初の4桁は9000しかない
(*9の位置を変えると千の位が0で4桁の自然数にならない)
よって、9が成り立たない(ウ)
ア…0、イ…10、ウ…9

問2

↑偶数=グ、奇数=キ
4段目がキであったら、3段目はグキ。
差がグの場合、1個前はググかキキ。差がキの場合はグキで分かれる。
2段目は【グ2個】か【キ2個】の2通りある。

左は2段目のキをキグ・グキに分け、右は2段目のグをキキ・ググに分けて1段目を埋めた。
すると、1段目は【キ3つ・グ1つ】か【グ3つ・キ1つ】のパターンになる。
連続する4つの整数は必ず【キ2つ・グ2つ】なので条件に合わない
したがって、連続するする4つの整数を並び替えた自然数では、4段目の数は奇数にならない。
@@
公式解答を貼り付けておきます。

解答を書く際は、奇数=〇、偶数=×で調べてください。
〇×と×〇はひっくり返しても同じなので片方だけを調べればいいが、
解答文で固定されてしまっているので、1段目は8パターンも出てくる…。


5・6はとくに差がつきやすいか。
大問1
全問正解を狙いたい。
(7)正答率は高くなさそう。
2024を素因数分解して、右辺の分子の余計な部分を分母との約分で消す。
年度の素因数分解は覚えておくといい。
大問2
問1(2)範囲=散らばりの程度
(3)④あまり見かけない形式。得点が下がった生徒が7人いるかを確定する。
5月に1~2点はないので、6月に1~2点の者は確実に下がっている。3点ではどうか。
大問3
問4:他県でも見かける。y座標の差が線分の距離になる。
大問4
問2:解きやすい。
問3:BEを斜辺とする直角三角形をつくって三平方。
大問5
問2:二等辺の∽から直接ABが求まらない。
二等辺を半分に割って三平方する。
問3(2)構図はシンプルだが、等角があらゆる場所にでてくるので∽が混乱しやすい。
等角の印は目立たせるといい。
(3)問3でまとまっている設問構造なので、前問の利用をよぎらせる。
3と5が重複する意味はなんなのか。全体の面積を2通りで分割→等積から共通部分をひいても等積。
大問6
ラストにまとまった文章量が出た。
問1イ:1桁の数の差なので、結果は0~9の10通りになるはず。
空欄直前の『1000や2000』が大ヒント。見逃さない。
ウ:1つだけ除外される→極端な値→最小値か最大値を検討する。
問2:長崎のラストは変わった形式が出題されやすい。
3段目が〇×、×〇→2段目、1段目とさかのぼればいい。
連続する4つの整数は〇2個、×2個である点に触れること。
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