2020年度 京都府公立高校過去問・中期【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
5+4×(-32
=5+4×(-9)
=5-36=-31

(2)
4(3x+y)-6(5/6x-4/3y)
=12x+4y-5x+8y
=7x+12y

(3)
√3×√32+3√6
=√3×4√2+3√6
=4√6+3√6=7√6

(4)
2x+5y=-7…①
3x+7y=-9…②

①×3-②×2
 6x+15y=-21
-)6x+14y=-18
     y=-3

①に代入。
2x+5×(-3)=-7
2x
=8
x=4
x=4、y=-3

(5)
y=-4/5x+4のグラフを書く。

切片は(0、4)
傾きは負なので右下に向かう。
下に4、右に5で(5、0)と結ぶ。

(6)
5<√n<6
√25<√n<√36
n=26~35なので、10個。

(7)

ACとBDの交点をEとする。
円周角の定理で、∠BDC=54°
△CDEで外角定理→∠DCE=73-54=19°
直径に対する円周角は直角なので、∠BCD=90°
x=90-19=71°

(8)
無作為に抽出した300個のうち、不良品は7個。
よって、7×10000/300=700/3=233…≒230個

大問2(確率)

ジェンガ問題(‘ω’)
(1)
1回目は何かを出す。その何かが一番上にきて、Gは下から6番目になる。
2回目でGのある6を出せばいい→1/6

(2)
初期状態ではEは下から5番目。
Eを1段下げればいい
■1回目でEが下がる
1回目→1~4を出す。4通り
2回目→Eは4段目にいるので5か6を出す。2通り
4×2=8通り
■2回目でEが下がる
1回目→6を出す。1通り
2回目→Eは5段目にいるので1~4を出す。4通り
1×4=4通り

8+4=12通り
12/36=1/3

大問3(関数)

(1)
y=1/4x2に、x=2を代入。
y=1/4×22=1
1m

後半は、y=9を代入。
1/4x2=9
2=36
x>0より、x=6
6秒

(2)
普通は求めたいAの長さを文字に置き換えたいところだが…
長さはy=1/4x2のyにあたる。
長さを文字に置き換えると、往復の時間で等式をつくることになるが、
往復の時間xの次数が2なので計算が厳しく、かつ比しかわかっていない(´゚д゚`)

そこで、往復の時間xを文字に置き換える
Aの往復の時間をt秒とする。
Bの往復の時間は4/5t秒。

Aの長さは、y=1/4x2にx=tを代入→1/4t2
Bの長さは、x=4/5tを代入→4/25t2
『Aの長さはBより1/4m長い』から、長さで等式。
1/4t2=4/25t2+1/4
9/100t2=1/4
2=100/36=25/9
t>0より、t=5/3
Aの1往復の時間は5/3秒。
これをy=1/4x2に代入。
y=1/4×(5/3)2=25/36m
*振り子の周期は、おもりの重さではなく、振れ幅でもなく、
振り子の長さ(支点~おもりの重心までの長さ)に依存することを等時性という。

大問4(空間図形)

(1)
△ABCで三平方。
AC2=(2√7)2+62=64
AC>0から、AC=8cm
8÷1=8秒

(2)

二等辺三角形BCDの縦に真っ二つ。
CDとの交点をEとして、△BCEで三平方→高さBE=√35cm
2×√35÷2=√35cm2

錐の体積は底面積×高さ÷3。
√35
×2√7÷3=√5×√7×2√7÷3
=14√5/3cm3

(3)

PDは面ACD上の線分。QDは面ABD上の線分。
BC//QPを維持してQPを下に平行移動させる。
PがCに着くとPD=CD、QがBに着くとQD=BD。
つまり、最後は三角錘A-BCDになる。

△AQPを底面としたとき、△AQPと△ABCの底面積の比は
三角錘D-AQPと三角錘D-ABCの体積比に等しい

三角錘D-AQP:三角錘D-ABC
=24√5/7:14√5/3
=72:98
=36:49

△AQP:△ABC=36:49
ちょうど値が平方数(゚∀゚)!!
面積比の平方根が辺の比
AQ:AB=⑥:⑦
(1)より、Pが8秒でCに着く=Qは8秒でBに着くので、
8×⑥/⑦=48/7秒後


大問5(平面図形)

(1)

AB=6cm、AC=8cmから、直角三角形ABCの辺の比は3:4:5。
AからBCに向けて垂線、足をHとする。
×=90°で2角が等しく、△ABC∽△HBAから辺の比は3:4:5。
AHがAとBCの距離にあたる。
AH=6×4/5=24/5cm

Dから垂線をひく。足をIとする。
DIは台形ABCDの高さでAHと同じ。
CD=6cmより、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で△ABH≡△DCI
(ここから台形ABCDは左右対称の等脚台形となる)
BH=CI=6×3/5=18/5
AD=HI=10—18/5×2=
14/5cm

(2)

BC=10cmをBF:FC=3:2で按分。
BF=6cm、FC=4cm
HF=6-18/5=12/5cm
△ACH∽△GCFで、AG:GC=HF:FC
=12/5:4=12:20=
3:5

(3)
今までに出てきた数値を使う。

AH=24/5cm、AD=14/5cm
ここから△ACDの面積がでる。
さらに、AG:GC=3:5から、△ADGと△GDCの面積比は3:5
△GDCの面積が求められる。

台形ABCDは等脚台形で、対角線ACとBDの交点Eからおろした垂線の足をJとすると、
JはBCの中点である!(左右対称だから)
JC=10÷2=5cm
JF=5-4=1cm
△ECJ∽△GCFより、EG:GC=JF:FC=1:4
△EDGの面積を【1】とすると、△GDCの面積は【4】。
以上をつなげる。△ACD⇒△GDC⇒△EDG
14/5×24/5×1/2×5/8×1/4=
21/20cm2

大問6(規則)

(1)

奇数に注目すると、タイルの枚数がちょうど平方数。
7番目は4×4=16枚
1枚のタイルは1cm2なので
16cm2
*1は1番目の奇数だから1×1枚。
3は2番目(=(3+1)÷2)の奇数だから、2×2枚。
5は3番目(=(5+1)÷2)の奇数だから、3×3枚。
7は4番目(=(7+1)÷2)の奇数だから、4×4枚。

偶数は長方形で考える。

2は1番目(=2÷2)の偶数だから1枚。
4は2番目(=4÷2)の偶数だから1+2=3枚。
6は3番目(=6÷2)の偶数だから1+2+3=6枚。
16は16÷2=8番目の偶数だから、1~8の総和。
これは長方形の数なので、タイルの枚数は2倍すること
(1+8)÷2×8×2=72cm2

@別解@
先ほどの奇数から解くこともできる。
15は(15+1)÷2=8番目の奇数なので、8×8=64枚。
奇数から偶数の変換をみると、
1番目→2番目;1+1=2枚
3番目→4番目;4+2=6枚
5番目→6番目;9+3=12枚…
奇数の〇番目を足す
15は8番目の奇数だから、64+8=72枚(72cm2

(2)
今までのおさらいだが、頭がこんがらがる(´・д・`)
nは偶数なので偶数のルールを適用。
nはn÷2=n/2番目の偶数。
1~n/2までの総和を求める。(あくまで長方形の数なので最後は2倍!)
(1+n/2)×n/2÷2×2=n2/4+n
/2…n番目のタイルの枚数

nが偶数なので2n+1は奇数。奇数のルールを適用。
2n+1は(2n+1+1)÷2=n+1番目の奇数。
(n+1)2=n2+2n+1…2n+1番目のタイルの枚数

差の331で等式。
2+2n+1-331=n2/4+n/2 ←両辺を×4
4n2+8n-1320=n2+2n
3n2+6n-1320=0 ←両辺を÷3
2+2n-440=0
(n+22)(n-20)=0
n>0より、n=20

@別解@
〇番目の奇数さえわかれば〇の平方数でタイルの枚数がでるので、
奇数ルールでゴリ押しすることもできる。

全体は2n+1番目でこれはn+1番目の奇数だから、(n+1)2枚とすぐでる。
問題はnが偶数で、こちらは直角三角形ではなく階段状であること・・。
nの1個手前のn-1が奇数。
n-1は(n-1+1)÷2=n/2番目の奇数だから、(n/2)2=n2/4枚。
奇数→偶数の変換では〇番目の奇数の〇を足すので、
2/4+n/2と(n+1)2の差が331となる。
(n+1)2-(n2/4+n/2)=331
これを解くと、n=20になる。

大問1
(6)数え間違いに気をつけよう。35-26+1=10個
大問3
(2)求めたい長さを文字に置き換えると頭が混乱する。
うまくいかない場合は別のものを置き換えよう。
大問4
(3)最後は三角錐A-BCDにおさまることから、底面積で比を捉える。
平方数がでてきてありがたい。
大問5
(3)等脚台形の対称性→Eは真ん中。
大問6
(2)奇数の〇番目、偶数の〇番目の処理は丁寧に!
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