2023年度 石川県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均44.4点(前年比;-2.8点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)ア
5-(-4)
=5+4
=9


(-3)2×2-8
=9×2-8
=10


15/2x32÷5/8xy2
=12x2


(4a-2b)/3-(3a+b)/4
={4(4a-2b)-3(3a+b)}/12
=(16a-8b-9a-3b)/12
=(7a-11b)/12


√54-2√3÷√2
=3√6-√6
=2√6

(2)
反比例の比例定数aはxとyの積で一定(a=xy)。
a=2×(-6)=-12
y=-12/x

(3)
√60=2√15
√15の根号を外すには、根号の中で15をかければいい(√15×√15=15)。
n=15

(4)
全体はamL、配ったのは7bmL。
残りは200mLより少ない≒配った量より200mLの方が多い。
a-7b<200

(5)

ア:平均値を×印などで記す箱ひげ図もあるが、本問はわからない。×
イ:第3四分位数(Q3)は1組…7冊、2組…8組。〇
ウ:四分位範囲=Q3-Q1、1組…4冊、2組…5冊。
×
エ:31人のQ3は上位15人の真ん中、上から8番目。
 いずれもQ3が7冊以上→少なくとも8人は7冊以上読んだ。〇
オ:10冊の生徒について、最大値から2組はいるが1組は不明。×
イ・エ

大問2(確率)

(1)
和が4の組合わせは(赤1、赤3)(白1、赤3)(赤2、白2)の3通り。

(2)
答案では図や表、式などを用いて考え方を説明する。

たとえば、1回目で白1を取るとP(0、1)
2回目で赤2を取るとQ(2、0)となり、△OPQは三角形になる。
つまり、三角形ができるにはPとQが異なる軸上にいる必要がある
言い換えれば、異色を出す

『もとに戻さずに続けて2回取り出す』⇒一度に2個とるのと同じ。
5個から2個取り出す組み合わせは、52=10通り

異色の組み合わせは上図のように考え、2×3=6通り
異色を取り出す確率は、6/10=3/5


大問3(関数)

(1)
周の長さが22cm。縦と横の和(半周)は22÷2=11cm
縦の長さをaとすると、横はa+3。
a+(a+3)=11
a=4
4cm

(2)
正方形の枠をつくる。
x=8のとき、1辺は2cm→y=22=4
x=20のとき、1辺は5cm→y=52=25
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)=(25-4)/(20-8)=
7/4

(3)
答案では途中の計算も書く。

x=50のときのyの値をそれぞれ求める。
一方は、縦:横=の比率をキープする
=50÷2=25cm→縦=5cm、横=20cm
y=5×20=100

他方は、縦の長さをaで固定する
横の長さは25-a。長方形の面積は、y=a(25-a)

どちらの点がどちらの長方形か。
縦:横=①:④の長方形は周の長さxが伸びるにつれて、縦と横の双方が伸びる→y=ax2
もう1つの長方形は縦をaで固定するので、横しか伸びない→y=ax+b(一次関数)
つまり、下の点がy=100。上の点はy=100+14=114

a(25-a)=114
2-25a+114
=(a-6)(a-19)=0
a<25/2なので、a=6

大問4(方程式)

とり肉1パックをxg、ぶた肉1パックをygとする。
重さ(g)で等式。
x+2y=720 …①

もう1つは金額で等式を立てる。
表は100gあたりなので、これをxg、ygに変換する
120円×(x/100)g+150円×(2y/100)g=1020円
6/5x+3y=1020 ←5倍
6x+15y=5100 ←÷3
2x+5y=1700 …②

②-①×2をすると、y=260
①に代入、x=720-2×260=200
とり肉…200g ぶた肉…260g


大問5(作図)


●∠ABP=∠CBP→BP共通だがP不明。ABとCBがなす角に着目→∠ABCの二等分線
●∠DAP=∠DAC→DA共通。PはBと同じく直線ℓより下にある→ℓに対してCを下に対称移動
→ACを下に対称移動した直線上にPがある(対称の軸であるℓが∠CAPを二等分する)。
①∠ABCの二等分線
②Cを通るℓに対して垂直な垂線。
③ℓ上の交点に針を合わせ、Cを下に対称移動。Aと結び、①との交点がPとなる。

@別解@

後半は角の移動でも描ける。
ACの弧を描く→ℓ上の点をEとすると、CEの長さをとりEから下に移す。
→弧との交点がC’となり、AC’を結ぶ。

大問6(空間図形)

(1)

正六角形の対辺は平行。
辺AFに平行なのは、
辺CD・辺IJ・辺GL。

(2)
答案では途中の計算も書く。

底面の正六角形と六角柱の高さは垂直→AG⊥GI
AIを斜辺とする直角三角形AGIに着目する

AG=8cm、GIの長さが知りたい。

正六角形の内角の1つは120°→△GHIの内角は30°-30°-120°の二等辺三角形
これを二等分すると辺の比が1:2:√3の直角三角形になる。
GI=4×√3/2×2=4√3cm
△AGIで三平方→AI=
4√7cm

(3)
答案では途中の計算も書く。

六角柱の体積を求める。
底面の正六角形を6分割すると、1辺4cmの正三角形ができる。
1:2:√3から高さは2√3cm。底面積は正三角形の面積を6倍すればいい。
六角柱の体積は、4×2√3÷2×6×8=192√3cm3
立体MN―IJKLの体積が、192√3÷12=16√3cm3になればいい。

立体MN―IJKLを上図のように2等分する。
立体は対称面について左右対称である
MJの高さをxとすると、対称面の面積は2√3×x÷2=√3xcm2

これを底面と捉え、断頭三角柱の考えを用いて体積を求める。
高さの平均はMN・JK・ILの平均→(4+4+8)÷3=16/3cm
体積で方程式を立てると、√3x×16/3=16√3/3x=16√3
x=16√3÷16√3/3=3cm
DM=8-3=5cm
DM:MJ=5:3

@別解@

六角柱の半分を面DELIで分割する。
DE―IJKL()とIL―CDEF()の体積比を断頭三角柱を使って求める。
底面とみなす対称面は等しいので、高さの平均が体積比になる。
DE―IJKL…DE・JK・ILの平均=(4+4+8)÷3=16/3
IL―CDEF…DE・CF・ILの平均=(4+8+8)÷3=20/3
体積比は、DE―IJKL:IL―CDEF=16/3:20/3=④:⑤
六角柱の体積比は、(④+⑤)×2=⑱

MN―IJKLの体積比は、⑱÷12=〇3/2
DE―IJKLとMN―IJKLの高さ平均は(4+4+8)÷3で等しい。
2つの立体の体積比は対称面である底面積の比に等しい
そして、対称面は底辺共通なので、体積比は高さの比のDJ:MJに相当する。
DJ:MJ=DE―IJKL:MN―IJKL=④:〇3/2=8:3
DM:MJ=5:3


大問7(平面図形)

(1)

弧BCの円周角で、∠BAC=82÷2=41°
△ABEで外角定理→∠AED=24+41=
65°

(2)
△ABD≡△CAFの証明。

弧AD=弧CFから、弦AD=弦CF
直径BCに対する円周角→∠BAC=90°
△ABCの内角は45°―45°―90°だから直角二等辺三角形
BA=AC

BA=ACを弦として眺めると、弧BA=弧ACがいえる
弧BD=弧BA(▲)+弧AD(●)=弧AC(▲)+弧CF(●)=弧AF
弦も等しく、BD=AF
3辺が等しいから、△ABD≡△CAF

(3)
答案では途中の計算も書く。

長さの情報が乏しい。。
とりあえず、円周角やGE//BCを使って等角を記しておく。
BCを1辺とする△ABCと相似にあたるのは△AGEと△DEC
この2つの三角形を意識しつつ、どこかに長さの比がわかりそうな∽はないか。。

△ABE∽△DCEより、AE:DE=AB:DC=③:④

GE//BCより、AE:EC=AG:GB=1:2
EC=③×2=⑥

△ABC∽△DECより、AB:BC=DE:EC=④:⑥
BC=3×⑥/④=9/2cm


最後の小問が前問と関わりのない内容で、多くの手順を自力で踏まなければならない。
記述で部分点を狙うにせよ、数学に強くないと厳しい。おまけに配点も高い。。
大問1
いずれも基本問題。30点とろう。
大問2
(2)条件が特殊。赤はx軸上の1~3、白はy軸上の1~2。
軸上にしか点がこない。異色の組み合わせとわかれば、計算で求められる。
大問3
(2)ここも少し変わっている。周の長さがx座標、1辺の長さを出してからy座標を求める。
(3)2つの長方形がどのような形で広がっていくか。どっちがどっちのグラフか決まる。
1:4の長方形でx=50のときのyの値→aが出てくるyの値→方程式を解く。
大問4
公立入試でよくでてくる形式。
100gあたりの料金をxgと2ygに変換する。
大問5
正答率は高くはないと思われる。
アルファベットの並びからPがどの辺にくるか想像したい。
大問6
(2)直方体はよくみるが、六角柱の斜め線はレア。
(3)無理そうならスキップ。上級者は断頭三角柱を使いこなしたい。
大問7
(2)等しい円周角→残りの角につなげて、2辺と間の角度から合同を指摘してもいい。
(3)いろんな∽に切り替えるので迷子になりやすい。
等角からBCと関わる三角形の∽を狙う。CD=4cmを∽に巻き込む。
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