平均23.6点（前年比；－1.7点）
最高点…48点、最低点…０点
問題はコチラ→ＰＤＦファイル
大問１（計算）
（１）
７×（－２）－（－５）
＝－14＋５
＝－９
（２）
ａ2＋15/ａ
＝（－３）2－15/３
＝９－５
＝４
（３）
４ａ3ｂ2÷１/２ａｂ
＝８ａ2ｂ
（４）
３ｘ＋５ｙ＝４ …①
ｘ－ｙ＝４ …②
①－②×３で、８ｙ＝－８
ｙ＝－１
②に代入、ｘ＋１＝４
ｘ＝３
ｘ＝３、ｙ＝－１
＠別解＠
値が４で等しいので、３ｘ＋５ｙ＝ｘ－ｙ
２ｘ＝－６ｙ
ｘ＝－３ｙ
②に代入して、－３ｙ－ｙ＝４
ｙ＝－１でも解ける。
（５）
√50－√２＋６/√２
＝５√２－√２＋３√２
＝７√２
（６）
（ｘ＋３）2－（ｘ＋３）－30 ←ｘ＋３をＸに置き換え
＝Ｘ2－Ｘ－30
＝（Ｘ＋５）（Ｘ－６） ←Ｘをｘ＋３に戻す
＝（ｘ＋３＋５）（ｘ＋３－６）
＝（ｘ＋８）（ｘ－３）
（７）
－４＝－√16＜－√11
－４＜－√11＜３
ウ→ア→イ
大問２（平面図形）
（１）
∠ＣＥＤは二等辺ＢＥＤの内角。
ＡＢ//ＤＣの錯角で、∠ＢＤＣ＝20°
△ＢＣＤで外角定理→∠ＤＢＣ＝60－20＝40°
二等辺ＢＥＤの内角より、∠ＣＥＤ＝（180－40）÷２＝70°
（２）ア
△ＤＦＣで三平方→ＤＦ＝２√５ｃｍ
イ
ＢＥに補助線を引き、四角形ＡＢＧＥ＝△ＡＢＥ＋△ＢＧＥに分割する。
△ＡＢＥ…４×１÷２＝２ｃｍ2
△ＢＦＧ∽△ＤＥＧに着目する。ＦＧ：ＧＥ＝③：④
【△ＢＦＥ⇒△ＢＧＥ】の順で、△ＢＧＥ…３×４÷２×④/⑦＝24/７ｃｍ2
四角形ＡＢＧＥの面積は、２＋24/７＝38/７ｃｍ2
（３）
難しい。
弧ＤＦが絡むので、これを弧とする扇形が必要である。
小円の中心をＯ’とする。
△ＤＥＦを描く。Ｄ・Ｅ・Ｆは各辺の中点→中点連結定理
ＤＦ＝１/２ＢＣ、ＤＥ＝１/２ＡＣ、ＥＦ＝１/２ＢＡ
４つの三角形は３辺の長さが等しく合同。
△ＡＤＦ≡△ＥＦＤより∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＤ＝60°
小円の弧ＤＦに対する円周角ＤＥＦ＝60°から、中心角ＤＯ’Ｆ＝60×２＝120
小円の半径を求めたい。
大円の半径２ｃｍをどう使うか。
ＯＢに補助線。弧ＢＣに対する中心角ＢＯＣ＝60×２＝120°
半径より△ＯＢＣは二等辺三角形で、ＥはＢＣの中点→ＯＥ⊥ＢＣ
△ＯＥＣは内角が30°―60°―90°の直角三角形だから、辺の比は１：２：√３。
ＥＣ＝２×√３/２＝√３ｃｍ
前図の合同（△ＡＤＦ≡△ＦＥＣ）より、ＥＣ＝ＤＦ＝√３ｃｍ
△Ｏ’ＤＦも頂角120°の二等辺三角形。
１：２：√３より、小円の半径は１ｃｍである。
求積すべき図形の面積は、１×１×π×１/３－√３×１/２÷２＝π/３－√３/４ｃｍ3
大問３（小問集合）
（１）
10の約数で場合分け。
●積１→（１、１）
●積２→（１、２）と逆
●積５→（１、５）と逆
●積10→（２、５）と逆
計７通り、全体は６×６＝36だから確率は７/36
（２）
30人の第１四分位数は下位15人の真ん中。
→下から８番目だから、15～20ｍの階級に含まれる。
その相対度数は、６÷30＝１/５＝0.2
（３）ア
ｙ＝ａｘ2においてｘの値がｐ→ｑに増加するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
－１/２×（１＋３）＝－２
イ
ｙ＝３/４ｘ2にｘ＝－４を代入→Ａ（－４、12）
Ｃのｙ座標は12。
各グラフにｘ＝ａを代入→Ｄ（ａ、３/４ａ2）Ｅ（ａ、－１/２ａ2）
ＣＤ＝ＤＥで方程式を立てる。
12－３/４ａ2＝３/４ａ2－（－１/２ａ2）
12－３/４ａ2＝５/４ａ2
２ａ2＝12
ａ2＝６
ａ＞０より、ａ＝√６
（４）
ｍ、ｎを整数として、２つの奇数を２ｍ＋１、２ｎ＋１とする。
（２ｍ＋１）2＋（２ｎ＋１）2＋２
＝４ｍ2＋４ｍ＋４ｎ2＋４ｎ＋４
＝４（ｍ2＋ｎ2＋ｍ＋ｎ）
ｍ2＋ｎ2＋ｍ＋ｎが整数だから、４（ｍ2＋ｎ2＋ｍ＋ｎ）は４の倍数。
したがって、２つの奇数を２乗してできた２つの数の和に２を加えた数は４の倍数である。
＠＠
留意点は、２つの奇数を２ｍ＋１、２ｍ＋３にしないこと！
連続する２つの奇数に限定されてしまい、あらゆる２つの奇数についての証明にならない。
必ず文字を２種類設定して、２ａ＋１、２ｂ＋１などにする。
大問４（規則・数量変化）
（１）ア
*上段は奇数だと白、偶数だと黒。2024は偶数だから黒。
下段は３の倍数だけ白、それ以外は黒。
３の倍数は位の和も３の倍数になる。2024は３の倍数ではないから黒。
イ・エ
イ
２と３の最小公倍数である６列ごとでループする。
１～６列目を１グループとすると、白５個、黒７個の固まり。
『ｎ列目は上下ともに白』→１～６列では３列目→ｎは６の倍数＋３
最後の３列には白３個、黒３個。
ｎ列目までグループがａ個あったとすると、列の総数ｎ＝６ａ＋３
白の総数…５ａ＋３個
黒の総数…７ａ＋３個
（５ａ＋３）：（７ａ＋３）＝８：11
外項と内項の積で、11（５ａ＋３）＝８（７ａ＋３）
ａ＝９
ｎ＝６ａ＋３＝57
（２）ア
４秒後の様子。ＰはＥ、ＱはＢに着く。
三角錐Ｄ―ＡＰＱの体積は、４×４÷２×４÷３＝32/３ｃｍ2
イ
ＥＰ＝（ＡＥ＋ＥＰ）－ＡＥ＝ｘ－４ｃｍ
ＰＦ＝ＥＦ－ＥＰ＝４－（ｘ－４）＝８－ｘｃｍ
同様にＢＱ＝ｘ－４ｃｍ、ＱＦ＝８－ｘｃｍ
△ＡＰＱ＝正方形ＡＥＦＢ－△ＡＥＰ×２－△ＰＦＱ
＝４×４－４（ｘ－４）÷２×２－（８－ｘ）2÷２
＝16－（４ｘ－16）－（32－８ｘ＋１/２ｘ2）
＝16－４ｘ＋16－32＋８ｘ－１/２ｘ2
＝－１/２ｘ2＋４ｘｃｍ2
＠別解＠
△ＡＰＱを直接求めにいくこともできる。
Ｐ・Ｑが対称的に動くので、△ＰＦＱは直角二等辺。
辺の比は１：１：√２→ＰＱ＝√２（８－ｘ）ｃｍ
ＡＦとＰＱの交点をＲとする。
ＲはＰＱの中点で、△ＰＦＲも直角二等辺→ＲＦ＝（８－ｘ）/√２ｃｍ
ＡＦ＝４√２ｃｍだから、ＡＲ＝４√２－（８－ｘ）/√２＝ｘ/√２ｃｍ
△ＡＰＱの面積は、√２（８－ｘ）×ｘ/√２÷２＝－１/２ｘ2＋４ｘｃｍ2
ウ
答案では求める過程も記述する。
１秒後の三角錐Ｑ―ＡＰＤは、４×１÷２×４÷３＝８/３ｃｍ3
三角錘Ｄ―ＡＰＱで捉えると底面は△ＡＰＱ、高さは４ｃｍ。
△ＡＰＱの面積は、８/３×３÷４＝２ｃｍ2
前問より、－１/２ｘ2＋４ｘ＝２
１/２ｘ2－４ｘ＋２＝０ ←×２
ｘ2－８ｘ＋４＝０
解の公式を適用。４＜ｘ＜８より、ｘ＝４＋２√３
大問５（図形の証明）
（１）
△ＡＣＨ∽△ＧＢＨの証明。
対頂角と弧ＡＧに対する円周角より、２角相等で∽
（２）
△ＡＢＦ≡△ＡＢＧの証明。
共通辺ＡＢ。
ＣＥ＝ＣＦより、△ＣＥＦは二等辺。
∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ＝●とすると、
対頂角で∠ＡＦＧ＝●、弧ＡＣに対する円周角で∠ＡＧＦ＝●
△ＡＦＧは２つの底角が等しいから二等辺→ＡＦ＝ＡＧ
２辺が等しいので、あいだの角に狙いをつける。
使えそうな角度を探す。
二等辺ＣＥＦとＣＤ⊥ＥＦに注目する。
ＣＥ＝ＣＦ、∠ＣＤＥ＝∠ＣＤＦ＝90°、共通辺ＣＤより、
斜辺と他の１辺が等しい直角三角形だから、△ＣＥＤ≡△ＣＦＤ
対応する角で、∠ＥＣＤ＝∠ＦＣＤ＝×
弧ＢＥに対する円周角→∠ＢＡＦ＝×
弧ＢＧに対する円周角→∠ＢＡＧ＝×
２辺とあいだの角が等しいから、△ＡＢＦ≡△ＡＢＧ
大問１
配点13点。完全解答を目指したい。
大問２
（１）△ＣＥＤは二等辺の底角であることを先につかんでおく。
（２）イ:四角形を分割するか、不要な部分を除外する。
別解として△ＡＢＤ－△ＧＤＥが考えられる。いずれにせよ、△ＢＦＧ∽△ＤＥＧを利用する。
（３）分析力が問われる。
形が扇形－三角形だから、小円の半径と扇形の中心角がいる。60°から有名三角形を想起。
手掛かりは３点が中点であること→中点連結定理。とりあえずＤＥＦを結んでみる。
合同図形からＤＦの長さと中心角が求まる。
小円の半径はＯＥ⊥ＢＣに目をつける。二等辺の頂角Ｏと底辺の中点Ｅの関係性を見つけられるか。
大問３
（３）イ:正答率は高くなさそうだが、オーソドックスな形式。慣れておきたい。
（４）２種類の文字が大きなポイント。
２ｘ＋１、２ｘ＋３はダメ。同じ奇数同士や連続しない奇数同士に言及していないので証明不完全。
大問４
ここも実力差がつきやすい。
（１）イ:６列ごとのループをおさえる。それぞれのグループに白黒は何個ずつあるか。
上下段がともに白→ｎ列目は６の倍数＋３。最後の３列に白黒は３個ずつ。
グループ数を別の文字で表し、８：11から比例式→方程式でグループ数を求める。
ｎはグループ数を６倍して３を足した数。
（２）速さは１cm/sで同じだが、経路がやや複雑。
イ:長さを文字で正確に表す。処理能力も問われる。
ウ:前問の正答が必須。１秒後の体積から、ｘ秒後の底面積で方程式。
どこを底面と捉えれば三角錐の体積が求めやすいか。
大問５
（２）難しい。
二等辺ＣＥＦと円周角の定理をフル活用する。
高得点を狙う層は部分点狙いで食らいつきたい。
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