45分試験
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大問1(小問集合)
①
しょっぱなの計算にやられる(;`ω´)
指数処理で符号を取り違えないように!最後は8で通分。
5√2
②
シンプルだが変化球でビビる。。
中心角を□とおいてしまおう。
□=1/π
角度で示すと360°×1/πでやりにくい(´・_・`)
弧の長さは2cm。
③
y=x2において-2≦x≦1のとき、
x=0のとき 最小値y=0
x=-2のとき 最大値y=4
yの変域は0≦y≦4
a<0なので、y=ax+bは右下。
-2≦x≦1のとき、0≦y≦4だから、
x=-2のとき 最大値y=4
x=1のとき 最小値y=0
(-2、4)(1、0)の点を通過する。
右に3、下に4だから、傾きは-4/3。
切片は、1×④/③=4/3
(1)…-4/3(2)…4/3
④
aが平方数であれば根号が外れて整数となる。
a=25、36、64
3通り
5枚から連続して2回とるので、5×4=20通り
確率は3/20。
⑤
8人の合計…12×8=96点
a2+a=96-(13+18+20+19+4+10)
=96-84=12
a2+a-12
=(a+4)(a-3)=0
a>0より、a=3
a2=9
8人の中央値は4番目と5番目の平均値。
10と13の平均→11.5点
(1)9(2)11.5点
⑥
作図。条件に合う点Pをつくるには、どのような方法をとればいいか。
(条件1)半直線OAとOBに接する円
→円の中心Pは∠AOBの二等分線上にある。
(条件2)∠PAB=∠PBA
→ABの垂直二等分線を対称の軸とすると、対応する角の大きさが等しい。
(1)イ(2)オ
大問2(方程式)
(解答では途中式も記述する)
徒歩の人数…360×5%=18人
求めたいバスをx人とすると、自転車は3x+9人。
電車は(3x+9)÷5=0.6x+1.8人
18+x+(3x+9)+(0.6x+1.8)=360
4.6x=331.2
x=72
72人
大問3(空間図形)
①
途中式も記述する。
台形の下底BCが知りたいところ。
AからBCに垂線、足をHとする。
△ABHで三平方→BH=1cm
BC=1+5=6cm
台形ABCDの面積は、(5+6)×2÷2=11cm2
②
四角柱Sの高さは88cm3÷11cm2=8cm
AB//PQより、同位角で∠ABH=∠PQC
△ABHと△PQCは2角が等しく相似!
△PQCは直角三角形で、最も長い辺は斜辺のPQ。
三角柱Tの側面で面積が最大となる長方形はPQを1辺とする。
三角柱Tの高さは四角柱Sと同じ8cmだから、PQ=4√10÷8=√10/2cm
△ABHの面積…1×2÷2=1cm2
三角ABHと△PQCの面積比を求める。
AB:PQ=√5:√10/2=2√5:√10=2:√2
面積比は辺の比の2乗なので、△ABH:△PQC=22:(√2)2=2:1
△PQCの面積…1×1/2=1/2cm2
三角柱Tの体積…1/2×8=4cm3
大問4(平面図形)
②
△AEF∽△ECFの証明。
3辺の比がわかっているので、それに着目する。
AE:EF:FA=EC:CF:FE=√3:2:1
3辺の比が等しいから∽。
③
円の中心であるG・Hの位置を特定する。
半円の弧に対する円周角は90°!
∠CDF=90°から、円Oの中心Gは直径CFの中点にある。
∠EBC=90°から、円O’の中心Hは直径CEの中点にある。
さらに、△CGHと△CFEにおいて、GとHは各々の辺の中点だから、
中点連結定理により、GH=2÷2=1cm
④
きっつい:;(∩´_`∩);:
↑このエリアを求めなさいっちゅーことだが戦意喪失するね!
しかし、この問題だけ解説を書かない訳にはいかないので頑張りました。
長さがよくわかっていないので角度の調査。
こういうヘンテコな図形には有名角が隠れているのが定石です|д゚)
ECより下と上で分割し、さきに下の部分を求めにいきます。
△AEFは1:2:√3の直角三角形→内角は30°-60°-90°
(2)の△AEF∽△ECFより、△ECFの内角も30°-60°-90°。
∠CEF=90°だから、Eも円Oの円周上にある。
EGに補助線。
円Oの中心Gに注目。
FG=4÷2=2、半径からEG=2、EF=2。
△EFGは3辺が等しい正三角形。
また、△EGHは辺の比が1:2:√3→内角が30°-60°-90°の直角三角形!
△CGHも内角もこれと等しく、EH=HCから一辺と両端角相等で△EGH≡△CGH。
円Oと辺BC上(C以外)の交点をIとする。GIに補助線。
∠AEF=30°→∠BEC=60°→△BECの残りの内角で∠ECB=30°→∠GCI=60°
半径からGI=GC→△GCIの内角がすべて60°となり正三角形。
(*∠IHC=GHC=90°となり、G―H―Iは一直線)
△EGHと△CIHは一辺と両端角が等しく合同。
△CIHを△EGHに移植すると、半径2cm中心角60°の扇形になる。
2×2×π×60/360=2/3πcm2
つづいて上の部分にいきます(;´Д`)イヤ-
円O’と辺CD(C・D以外)の交点をJとする。
∠GCJ=90-60=30°
半径から△HJCは二等辺で、底角の∠HCJ=60°だから、
△HJCの内角はすべて60°で正三角形!
(*JC=√3となり、四角形EBCJは長方形→E―G―Jは一直線といえる)
半径√3cm中心角120°の扇形と、1辺が√3cmの正三角形となる。
正三角形の高さは1:2:√3から、√3×√3/2=3/2cm
よって、√3×√3×π×120/360+√3×3/2×1/2=π+3√3/4cm2
したがって、2/3π+(π+3√3/4)
=5/3π+3√3/4cm2
*しんどかった:( ´ω` ):
角度や辺の情報がごちゃごちゃしましたが、途中の説明は他にもいろいろあります。
ポイントは扇形と正方形の交点I・Jがどのような位置にあるのかを見極めることでしょうか。
中心をGとする円Oの弧か、中心をHとする円O’の弧か。
いたるところにある1:2:√3の直角三角形を活用する。
鮮やかな解法をついた方は、ぜひ下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願います<(_ _)>
大問5(関数)
①
うしろの設問の前提となるので必答。
y=4/3x2にx=5/4を代入。
y=4/3×(5/4)2=25/12
y=ax2にグラフでxの値がp→qに増加したときに変化の割合はa(p+q)
a(-3+0)=-1
a=1/3
点Aのy座標…25/12、a=1/3
②
解答では途中式も記述する。
Cのx座標をtとする。C(t、1/3t2)
t+1/3t2=10/3
t2+3t-10
=(t+5)(t-2)=0
t>0だから、t=2
y=1/3×22=4/3
C(2、4/3)
③(1)
△OAC=△O’AC’、対応する角より∠AOC=∠AO’C’
錯角が等しく、OC//C’O’
OCの傾きは、4/3÷2=2/3
→C’O’の傾きも2/3。
対応する辺よりOA=AO’だから、
O’の座標はA座標を2倍した(5/2、25/6)。
C’O’は傾き2/3でO’(5/2、25/6)を通る直線なので、
25/6=2/3×5/2+b
b=5/2
C’O’;y=2/3x+5/2
B(-3、3)→BO;y=-x
Dはy=2/3x+5/2とy=-xの交点。
2/3x+5/2=-x
x=-3/2
(2)
DC’とC’Oのx座標の差はともに2。
C’はDO’の中点である。
これさえわかれば、△BDC’と△O’C’Eにおいて底辺はDC’=C’O’だから、
高さが等しい→平行線!
Bを通る、DO’に平行な線を描き、y軸との交点がEとなる。
BEの傾きは2/3。
Bから右に3、上に2移動してE(0、5)
Eのy座標は5となる。
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