2020年度 岡山朝日高校過去問【数学】解説

45分試験
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)


しょっぱなの計算にやられる(;`ω´)

指数処理で符号を取り違えないように!最後は8で通分。
5√2


シンプルだが変化球でビビる。。

中心角を□とおいてしまおう。
□=1/π
角度で示すと360°×1/πでやりにくい(´・_・`)
弧の長さは2cm。


y=x2において-2≦x≦1のとき、
x=0のとき 最小値y=0
x=-2のとき 最大値y=4
yの変域は0≦y≦4

a<0なので、y=ax+bは右下。
-2≦x≦1のとき、0≦y≦4だから、
x=-2のとき 最大値y=4
x=1のとき 最小値y=0
(-2、4)(1、0)の点を通過する
右に3、下に4だから、傾きは-4/3。
切片は、1×④/③=4/3
(1)…-4/3(2)…4/3


aが平方数であれば根号が外れて整数となる。
a=25、36、64
3通り

5枚から連続して2回とるので、5×4=20通り
確率は3/20。


8人の合計…12×8=96点
2+a=96-(13+18+20+19+4+10)
=96-84=12
2+a-12
=(a+4)(a-3)=0
a>0より、a=3
2=9

8人の中央値は4番目と5番目の平均値。
10と13の平均→11.5点
(1)9(2)11.5点


作図。条件に合う点Pをつくるには、どのような方法をとればいいか。

(条件1)半直線OAとOBに接する円
→円の中心Pは∠AOBの二等分線上にある。

(条件2)∠PAB=∠PBA
ABの垂直二等分線を対称の軸とすると、対応する角の大きさが等しい。
(1)イ(2)オ

大問2(方程式)

(解答では途中式も記述する)
徒歩の人数…360×5%=18人
求めたいバスをx人とすると、自転車は3x+9人。
電車は(3x+9)÷5=0.6x+1.8人

18+x+(3x+9)+(0.6x+1.8)=360
4.6x=331.2
x=72
72人


大問3(空間図形)


途中式も記述する。
台形の下底BCが知りたいところ。

AからBCに垂線、足をHとする。
△ABHで三平方→BH=1cm
BC=1+5=6cm
台形ABCDの面積は、(5+6)×2÷2=11cm2


四角柱Sの高さは88cm3÷11cm2=8cm

AB//PQより、同位角で∠ABH=∠PQC
△ABHと△PQCは2角が等しく相似

△PQCは直角三角形で、最も長い辺は斜辺のPQ。
三角柱Tの側面で面積が最大となる長方形はPQを1辺とする。
三角柱Tの高さは四角柱Sと同じ8cmだから、PQ=4√10÷8=√10/2cm

△ABHの面積…1×2÷2=1cm2
三角ABHと△PQCの面積比を求める。
AB:PQ=√5:√10/2=2√5:√10=2:√2
面積比は辺の比の2乗なので、△ABH:△PQC=22:(√2)2=2:1
△PQCの面積…1×1/2=1/2cm2

三角柱Tの体積…1/2×8=4cm3

大問4(平面図形)



三平方ですばやく出そう!
(1)2√3(2)2(3)4


△AEF∽△ECFの証明。
3辺の比がわかっているので、それに着目する。
AE:EF:FA=EC:CF:FE=√3:2:1
3辺の比が等しいから∽。


円の中心であるG・Hの位置を特定する。

直径に対する円周角は90°!
∠CDF=90°から、円Oの中心Gは直径CFの中点にある。
∠EBC=90°から、円O’の中心Hは直径CEの中点にある。

さらに、△CGHと△CFEにおいて、GとHは各々の辺の中点だから、
中点連結定理により、GH=2÷2=1cm


きっつい:;(∩´_`∩);:

↑このエリアを求めなさいっちゅーことだが戦意喪失するね!
しかし、この問題だけ解説を書かない訳にはいかないので頑張りました。

長さがよくわかっていないので角度の調査。
こういうヘンテコな図形には有名角が隠れているのが定石です|д゚)
ECより下と上で分割し、さきに下の部分を求めにいきます

△AEFは1:2:√3の直角三角形→内角は30°-60°-90°
(2)の△AEF∽△ECFより、△ECFの内角も30°-60°-90°。
∠CEF=90°だから、Eも円Oの円周上にある。

EGに補助線。
円Oの中心Gに注目。
FG=4÷2=2、半径からEG=2、EF=2。
△EFGは3辺が等しい正三角形
また、△EGHは辺の比が1:2:√3→内角が30°-60°-90°の直角三角形!
△CGHも内角もこれと等しく、EH=HCから一辺と両端角相等で△EGH≡△CGH。

円Oと辺BC上(C以外)の交点をIとする。GIに補助線。
∠AEF=30°→∠BEC=60°→△BECの残りの内角で∠ECB=30°→∠GCI=60°
半径からGI=GC→△GCIの内角がすべて60°となり正三角形
(*∠IHC=GHC=90°となり、G―H―Iは一直線)

△EGHと△CIHは一辺と両端角が等しく合同。
△CIHを△EGHに移植すると、半径2cm中心角60°の扇形になる。
2×2×π×60/360=2/3πcm2

 つづいて上の部分にいきます(;´Д`)イヤ-
円O’と辺CD(C・D以外)の交点をJとする。
∠GCJ=90-60=30°
半径から△HJCは二等辺で、底角の∠HCJ=60°だから、
△HJCの内角はすべて60°で正三角形
(*JC=√3となり、四角形EBCJは長方形→E―G―Jは一直線といえる


半径√3cm中心角120°の扇形と、1辺が√3cmの正三角形となる。
正三角形の高さは1:2:√3から、√3×√3/2=3/2cm
よって、√3×√3×π×120/360+√3×3/2×1/2=π+3√3/4cm2

したがって、2/3π+(π+3√3/4)
=5/3π+3√3/4cm2
*しんどかった:( ´ω` ):
角度や辺の情報がごちゃごちゃしましたが、途中の説明は他にもいろいろあります。
ポイントは扇形と正方形の交点I・Jがどのような位置にあるのかを見極めることでしょうか。
中心をGとする円Oの弧か、中心をHとする円O’の弧か。
いたるところにある1:2:√3の直角三角形を活用する。
鮮やかな解法をついた方は、ぜひ下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願います<(_ _)>


大問5(関数)


うしろの設問の前提となるので必答。
y=4/3x2にx=5/4を代入。
y=4/3×(5/4)2=25/12

変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
x=-3のとき、y=9a
x=0のとき、y=0
(0-9a)/{0-(-3)}=-3a=-1
a=1/3
(1)25/12(2)1/3

@別解@
y=ax2にグラフでxの値がp→qに増加したときに変化の割合はa(p+q)
a(-3+0)=-1
a=1/3


解答では途中式も記述する。
Cのx座標をtとする。C(t、1/3t2
t+1/3t2=10/3
2+3t-10
=(t+5)(t-2)=0
t>0だから、t=2
y=1/3×22=4/3
C(2、4/3)

③(1)
処理が大変(;´・ω・)


点対称は対応する辺の長さが等しい
O’の座標はAのx座標とy座標を2倍する。O’(5/2、25/6)
AとCのx座標の差は2-5/4=3/4
y座標の差は25/12-4/3=3/4
C’(5/4-3/4、25/12+3/4)=C’(1/2、17/6)

C’O’の式を求める。
 25/6=5/2a+b
-)17/6=1/2a+b
 4/3=2a
a=2/3

17/6=1/2×2/3+b
b=5/2
O’C’;y=2/3x+5/2

B(-3、3)→BO;y=-x
Dはy=2/3x+5/2とy=-xの交点
2/3x+5/2=-x
x=-3/2

@別解@

C’O’の式ですが、OCと平行であるから4/3÷2=2/3…と傾きがすぐでた(;`ω´)

(2)

DC’とC’Oのx座標の差はともに2。
C’はDO’の中点である。
これさえわかれば、△BDC’と△O’C’Eにおいて底辺はDC’=C’O’だから、
高さが等しい→平行線
Bを通る、DO’に平行な線を描き、y軸との交点がEとなる。
BEの傾きは2/3。
Bから右に3、上に2移動してE(0、5)
Eのy座標は5となる。
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