2022年度 茨城県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)①
4-(-9)
=4+9
=13


√6×√3-√8
=3√2-2√2
=√2


6a3b×b/3÷2a
=a22


(x+6y)/3+(3x-4y)/2
={2(x+6y)+3(3x-4y)}/6
=(2x+12y+9x-12y)/6
=11/6x

(2)
(x+3)(x-7)+21=0
2-4x-21+21
=x2-4x
=x(x-4)=0
x=0、4

大問2(小問集合)

(1)
x=-6、y=1を代入。
-6a+b=-11 …①
-a-6b=-8 …②
地味に面倒くさい(;`ω´)
①-②×6をすると、37b=37
b=1
①に代入して、a=2
a=2、b=1

(2)
1枚目のカードは元に戻す。
全体は6×6=36通り

反比例y=6/xは、xとyの積が6である
(a、b)=(-3、-2)(-2、-3)(2、3)(3、2)の4通り。
確率は、4/36=
1/9

(3)
ワイシャツの定価をxとすると、その3割引きは0.7x。
0.7xを3着、xを2着買うから、
0.7x×3+2x
=4.1x=8200
x=2000
ワイシャツ1着の定価は
2000円。

(4)

A(-1、-1)⇒B(2、-4)
右に3、下に3だから傾きは-1。
A座標から右に1、下に1移動して切片は(0、-2)。
等積変形して、3×2÷2=
3cm2


大問3(平面図形)

(1)
△DPC∽△DQRの証明。

問題文では、まず合同を指摘している。
仮定と正方形1辺、90°をもとに1辺両端角が等しく、△DPC≡△AQD

対応する角より、∠DPC=∠DQR
共通角で、∠PDC=∠QDR
2角相等で∽。
a…ア、b…ウ、c…エ

@余談@

合同を経由せずとも∠ADR=×とおき、
×=90°から△ADRの外角定理で∠DRQ=90°
2角が等しく、相似といえる。

(2)

BEに補助線。
半径より、△ABEと△EBCは二等辺三角形
四角形ABCEの内角から∠AEC(●×)を算出する。
∠AEC=(360-90)÷2=135°

(3)

下に同じものを足すと半円になる。
Bの下をGとすると、直径AGに対する円周角AFG=90°

△PGBで三平方→PG=5√5cm
△PGB∽△AGFより、相似比はPG:AG=5√5:20=√5:4
FG=10×4/√5=8√5cm
PF=8√5-5√5=3√5cm

大問4(数量変化)

(1)①
バスPが2回目にBに着くには、片道3回分走る。
9×3=27分
午前10時27分


算数で解けるので、とりこぼして欲しくない。

バスQは27分後にPと同時にBを出発する。
バスQは27-7=20分にBへ着く。
AB間を20分で走るから、2700÷20=分速135m

(2)
8分の位置を正確に図示する。

バスQがAに向かうのでグラフの後半。
その8分後にバスPがAに向かうから、グラフの最後の方の話である。
あとは三角形の相似でケリがつく。
バスPは往復で18分。
うえの青い三角形の相似に着目すると、相似比は18:8=
AB間をとすると、AC間が、CB間がとなる。
したがって、CB間の距離は、2700×/
1500m


大問5(資料問題)

(1)①
(0×1+1×2+2×1+3×2+4×2+5×4+6×3+7×1+8×3+9×1)÷20
=96÷20=
4.8冊


最小値0冊、最大値9冊→最大値10冊のウが外れる。
20人の第2四分位数(中央値)は10番目と11番目の平均で5冊。
第1四分位数は下位グループ10個の真ん中(5番目と6番目の平均)で3冊。

(2)

①四分位範囲は第3四分位数(Q3)-第1四分位数(Q1)。Cの方が大きい。×
②中央値は第2位四分位数(Q2)で同じ。〇
③前問の通り、20人のQ1は5番目と6番目の平均。Q1が3冊のCでも3冊以下は5人いる。〇
④平均値は×印などで示すが、本問の箱ひげ図には描かれていない。△
①…イ、②…ア、③…ア、④…ウ

大問6(空間図形)

(1)
高さの数値が与えられている。
2×2×π×4√2÷3=16√2/3πcm3

(2)
側面積の扇形の中心角は〔×半径/母線〕なので、
側面積=母線×母線×π×半径/母線=母線×半径×π
2×2×π+6×2×π=
16πcm2

(3)
なんか意地悪な設問< `∀´ >
最短距離の問題だが、OA上のPはOP=2cmで固定されるが、
OB上のQは『動く点』となっている

BPQは一直線にあらず(゚Д゚)
PとOB’の最短距離は垂線。
PQは折れ曲がり、QはPを通る垂線の足になります(゚Д゚)

扇形の中心角は、360×3/6=120°
Aは弧BB’の中点なので、OAは∠BOB’の二等分線である。
∠BOA=∠B’OA=60°

△OPQは内角が30°—60°—90°で辺の比が1:2:√3だから、PQ=√3cm
これと合同の直角三角形OPRを左側に作る
PR=√3cm、OR=1cm
RB=6-1=5cm
△PBRで三平方→BP=2√7cm
したがって、ひもの長さ(BP+PQ)=2√7+√3cm


記述問題激減で教育関係者や受験生に驚きが広がったらしい…。
朝日新聞
大問1
20点とりたい。
大問2
(1)係数がいやらしかった。
(2)反比例→積が6で一定。
(3)割引券を3枚使う⇒0.7x円が3着、x円が2着を読み取る。
(4)典型題。
大問3
(1)対応する角と相似条件を選ぶだけ。
(2)円の中心とどこかを結ぶと解決策が見えてくる。
(3)王道の解き方ではないかもしれないが、PがBCの中点にあることに
着目し、
BCの下の世界をつくると直径に対する円周角があらわれる。
大問4
(1)算数レベル。
(2)8分の位置はQ→Pの順で探る。
大問5
(2)本問の箱ひげ図では平均がわからない、という選択肢は今年のどこかで見た。
大問6
(2)までは基本。
(3)性悪だった(´・_・`)
本来、直線になるべきヒモを強引に折り曲がらせるには、Pに釘を打つ必要があるのでは?
物理的にピーンと張れないのにヒモを持ってきたのはどうなんでしょうか(´・_・`)
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