2024年度　熊本県公立高校入試Ｂ問題過去問【数学】解説

平均25.6点（前年比；－3.3点）

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大問１（計算）

（１）
0.8÷４
＝0.2

（２）
７－５×４
＝７－20
＝－13

（３）
（ｘ＋ｙ）/４＋（ｘ－ｙ）/９
＝｛９（ｘ＋ｙ）＋４（ｘ－ｙ）｝/36
＝（９ｘ＋９ｙ＋４ｘ－４ｙ）/36
＝（13ｘ＋５ｙ）/36

（４）
－６ａ²×９ａｂ²÷（ａｂ）²
＝－６ａ²×９ａｂ²÷ａ²ｂ²
＝－54ａ

（５）
（３ｘ＋１）（３ｘ－１）－５（ｘ－７）
＝９ｘ²－１－５ｘ＋35
＝９ｘ²－５ｘ＋34

（６）
６/√２＋√32
＝３√２＋４√２
＝７√２

大問２（小問集合）

（１）
５ｘ＋18＝６－ｘ
６ｘ＝－12
ｘ＝－２

（２）
４ｘ²＋７ｘ＋２＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（－７±√17）/８

（３）

半径３ｃｍ高さ３ｍの円柱から、半径３ｃｍ高さ１ｃｍの円錐を引く。
３×３×π×３－３×３×π×１÷３＝24πｃｍ³

（４）
全体は、３×５＝15通り
Ａ～Ｃで場合分けして、６の倍数になるものを調べる。
●Ａ…６
●Ｂ…３・６
●Ｃ…５
計４通りだから、確率は４/15

（５）

∠ＣＰＢ＝120°となるＰを描いてみる。
∠ＣＰＡ＝180－120＝60°
△ＡＰＣは内角が30°―60°―90°の有名三角形である。
∠ＰＣＡ＝30°を描けばＣＰがひける。

30°の作図…正三角形→角の二等分線の流れ。
①ＡＣを１辺とする正三角形をつくる。
②内角60°を二等分する。これとℓの交点がＰ。

（６）①

図３をお手本にするとわかりやすい。６との差をみる。
ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋３）＋（ｎ＋５）＋（ｎ＋６）
＝５ｎ＋15

②ア
前問より、５ａ＋15＝225
ａ＝42

イ

42が初めにでてくる段を求める。
段ごとの最大数は右端で、偶数は偶数段目しか現れない。
→偶数段目の右端に着目する。
右端の数は＋５ずつ増えるので、偶数段目は【６、16、26、36、46】
２×５個目＝10段目の右端が46、左に46→44→42だから10段目に現れる。
10

（７）①

ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０をｙについて解くと、
ｂｙ＝－ａｘ－ｃ
ｙ＝－ａｘ/ｂ－ｃ/ｂ
切片は（０、－ｃ/ｂ）
ｙ軸の正方向に平行移動するには、傾きの－ａｘ/ｂを変えず、－ｃ/ｂを大きくする。
ｃの値を大きくすればいい。
カ

＠余談＠
切片はｙについて解いた式の定数部分なので、変数を含まないｃと予想できる。

②
３直線に囲まれた三角形をなくす。

ａを含まない２直線の交点●の位置は固定。
ａｘ＋２ｙ－２＝０が●を通るａを求める。

２ｘ－ｙ－１＝０　…①
ｘ＋ｙ－３＝０　…②
ａｘ＋２ｙ－２＝　…③
（①～③が同じ点で交わる→方程式の問題）
①＋②より、３ｘ－４＝０
ｘ＝４/３
②に代入、ｙ＝５/３
（ｘ、ｙ）＝（４/３、５/３）を③に代入。
４/３ａ＋10/３－２＝０
ａ＝－１

③
今度は２直線を平行にする。
①～③をｙについて解き、傾きであるｘの係数で等式を立てればいい。
●①③が平行
ｙ＝２ｘ－１　…①’
ｙ＝－ａ/２ｘ＋１　…③’
２＝－ａ/２より、ａ＝－４
●②③が平行
ｙ＝－ｘ＋３　…②’
ｙ＝－ａ/２ｘ＋１　…③’
－１＝－ａ/２より、ａ＝２
ａ＝－４、２

＠余談＠
①を－２倍、②を２倍すると、
－４ｘ＋２ｙ＋２＝０　…①”
２ｘ＋２ｙ－６＝０　…②”
ａｘ＋２ｙ－２＝０　…③
２ｙで統一なので、ｘの係数の比較だけでいける。
ａ＝－４、２

大問３（データの活用）

（１）

15～20日の相対度数は、４÷40＝１/10＝0.1
累積相対度数とは、その階級以下の相対度数の和。
20日未満の度数の和が９＋６＋11＋４＝30回なので、30÷40＝３/４＝0.75
Ａ…0.1、Ｂ…0.75

（２）

問題文に『箱ひげ図の箱に着目』とある。
箱は四分位範囲＝第３四分位数（Q3）－第１四分位数（Q1）を示す。
これはデータ全体の中央付近に集まる約50％の範囲である。
Ⅱ期の箱はⅠ期の箱より右側にある→Ⅱ期の方がⅠ期よりも猛暑日が多いといえる。
同様に、Ⅲ期の方がⅡ期よりも猛暑日が多い。
しかし、Ⅳ期の箱はⅢ期より右側にない。
ア・イ

＠余談＠
10年の中央値は５番目と６番目の平均。
Q1は下位５個の真ん中、下から３番目の値である。

（３）
Ⅳ期の最大値である41日を除くと、Ⅳ期の範囲が10日以上小さくなる理由を述べる。
範囲＝最大値－最小値
表より40日以上45日未満は２回あるが、箱ひげ図よりもう１つはⅡ期の最大値である。
表では３番目が25日以上30日未満だから、３番目は最も多くて29日。
最小値がわからなくても、範囲は41－29＝12日以上は小さくなるといえる。
＠＠
公式解答より、
『猛暑日の日数が40日以上の２回はⅡ期とⅣ期の１回ずつであり、
30日以上40日未満となった年は１回もないから』

大問４（空間図形）

（１）①

△ＢＦＤで三平方→ＢＦ＝２√５ｃｍ

②

三角錐Ａ―ＢＣＤ：三角錐Ｅ―ＢＣＦの体積比を求める。
底面積の比…△ＢＣＤ：△ＢＣＦ＝ＣＤ：ＣＦ＝②：①
高さの比…ＡＤ：ＥＦ＝②：①（△ＡＣＤ∽△ＥＣＦで∠ＥＦＣ＝90°）
三角錐Ａ―ＢＣＤの体積を１とすると三角錐Ｅ―ＢＣＦは、
１×①/②×①/②＝１/４倍

（２）①

ＢＰ＋ＰＥが最小→ＢＥとＣＤの交点がＰ
Ｅの位置がポイントなので、ＣＥ＝ＥＡに着目して∽を見つける。
ＢＥを延長、Ａを通るＣＤに平行な線との交点をＧとする。
△ＢＰＤ∽△ＢＧＡより、ＰＤ＝ｘとすると、ＧＡ＝２ｘ

ＣＰ//ＧＡ、ＡＥ＝ＣＥから１辺両端角が等しく、△ＡＥＧ≡△ＣＥＰ
ＣＰ＝２ｘ
ＣＤ＝３ｘ＝４ｃｍ
ｘ（ＰＤ）＝４/３ｃｍ

②

三角錐Ｅ―ＱＣＰ：三角錐Ｅ―ＡＢＤの体積比が１：２。
それぞれの三角錐の高さは底面の△ＱＣＰ、△ＡＢＤからＥまでの距離。
△ＡＣＤで検証すると、ＥはＣＰとＡＤから等距離にある→高さが等しい。
高さ一定→体積比は底面積の比にあたる。
つまり、△ＱＣＰ：△ＡＢＤ＝１：２

△ＡＢＤ≡△ＢＣＤ（等辺４の直角二等辺）なので、
△ＱＣＰ：△ＢＣＤ＝１：２
前問より、ＰＤ：ＣＤ＝４/３：４＝①：③（ＣＰ：ＣＤ＝②：③）
△ＢＣＤの面積を１とすると△ＱＣＰは隣辺比より、
１×②/③×ＱＣ/ＢＣ＝１/２
ＱＣ/ＢＣ＝３/４（ＱＣ：ＢＣ＝３：４）
ＢＱ：ＱＣ＝１：３

大問５（関数）

（１）
ｙ＝１/２ｘ＋２にｘ＝４を代入→Ａ（４、４）
Ａ座標をｙ＝ａｘ²に代入。
４＝16ａ
ａ＝１/４

（２）
ｙ＝１/２ｘ＋２にｙ＝０を代入→Ｃ（－４、０）
ｙ＝１/４ｘ²にｘ＝８を代入→Ｂ（８、16）
Ｃ（－４、０）→Ｂ（８、16）
右に12、上に16だから、傾きは16/12＝４/３
切片はＣから右に４、上に４×４/３＝16/３移動する。
ｙ＝４/３ｘ＋16/３

（３）①

Ｐの真上のＢＣ上の点をＥとする→Ｅ（ｔ、４/３ｔ＋16/３）
Ｐはｙ＝１/４ｘ²上にある→Ｐ（ｔ、１/４ｔ²）
ＥＰ＝（４/３ｔ＋16/３）－１/４ｔ²＝－１/４ｔ²＋４/３ｔ＋16/３

△ＢＣＰは幅ＣＤ＝12、高さＥＰだから面積は、
（－１/４ｔ²＋４/３ｔ＋16/３）×12÷２
＝－３/２ｔ²＋８ｔ＋32

②

△ＢＣＰ：△ＰＣＤ＝１：３
２つとも幅はＣＤで同じだから、面積比は高さの比に相当する。
Ｐの真下のｘ軸上の点をＦとすると、
ＥＰ：ＰＦ＝①：③

前問のＥＰを使うと処理が煩雑になるので、ＥＦ：ＰＦに注目する。
ＥＦ：ＰＦ＝（４/３ｔ＋16/３）：１/４ｔ²＝④：③
内項と外項の積で、ｔ²＝４ｔ＋16
ｔ²－４ｔ－16＝０
解の公式を適用して、ｔ＝２±２√５
ＰはＡとＢの間→４＜ｔ＜８だから、ｔ＝２＋２√５

大問６（平面図形）

（１）
△ＡＢＣ∽△ＯＤＥの証明。

∠ＡＣＢ＝∠ＯＥＤ＝90°
∠ＢＡＣ＝●、∠ＡＢＣ＝×として、●＋×＝90°
円Ｏの半円の弧に対する円周角より、∠ＡＤＣ＝90°
半径でＯＡ＝ＯＤだから△ＯＡＤは二等辺→∠ＯＤＡ＝●
∠ＯＤＥ＝90－●＝×
２角相等で∽

（２）①

前問の△ＡＢＣ∽△ＯＤＥを用いる。
ＡＢ：ＡＣ＝６：４＝③：②
△ＡＢＣの辺の比で三平方→ＢＣ＝〇√５
ＯＤ＝ＯＡ＝２ｃｍだから、ＤＥ＝２×〇√５/③＝２√５/３ｃｍ

②

∠ＢＤＥ＝∠ＯＥＤ＝90°で錯角が等しい→ＡＢ//ＯＦに気づきたい。
ＯがＡＣの中点だから、ＥはＤＣの中点→ＥＣ＝２√５/３ｃｍ
（ＦはＢＣの中点である）

求めたいＧＦを１辺とする三角形の相似をさぐる。
錯角と直角の２角相等より、△ＢＤＥ∽△ＥＧＦ

△ＣＢＤの内角も●―×―90°だから、△ＡＢＣ∽△ＣＢＤ
ＢＤ＝４√５/３×〇√５/②＝10/３ｃｍ
△ＣＤＢ∽△ＣＥＦより、ＥＦ＝10/３÷２＝５/３ｃｍ

ＥＤ：ＤＢ＝２√５/３：10/３＝〇√５：⑤
△ＢＤＥの辺の比で三平方→ＢＥ＝〇√30
したがって、ＧＦ＝５/３×〇√５/〇√30=５√６/18ｃｍ