2016年度 千葉県公立高校入試【前期】数学解説

平均47.4点
問題はコチラから→PDFファイル

大問1(計算)-77.0%

(1) 97.8%
-18÷(-3)
=6  ←符号ミスしない

(2) 85.8%
-32+16×3/4
=-9+12 ←カッコがないので-9
=3

(3) 52.4%
2x+3y-(x+5y)/2       ←方程式の問題ではないので分母を払わない。
=2x-1/2x+3y-5/2y ←展開するとき+5yにもマイナスがかかる。
=3/2x-1/2y

(4) 74.4%
x+3.5=0.5(3x-1) ←こちらは方程式。10倍
10x+35=5(3x-1)
5x=40
x=8

(5) 69.5%
(√2-√5) 2
=2-2√10+5

=7-2√10

(6) 82.1%
(x+2)(x-6)-9 ←前半を展開後、因数分解
=x2-4x-12-9
=x2-4x-21
=(x-7)(x+3)

計30点。解の方程式はなかった。

大問2(小問集合)-42.2%

(1) 66.3%
球の体積は、4/3πr3  球の表面積は、4πr2
よって、体積は32/3πcm3、表面積は16πcm2 → ウ

(2) 49.4%
最近ブレイク中の統計問題。本問は易しい。
10~15の度数が9なので、相対度数は9/23を小数に変換。
9÷23=0.39… → 0.4

(3) 62.4%
連立方程式。
十の位の数をx、一の位の数をyとおく
x+y=12 ・・(1)
もとの整数は10x+yなので、入れかえてできる整数は10y+x
10x+y-18=10y+x  ←18の符号注意。もとの整数の方が大きい。

9x-9y=18
x-y=2 ・・(2)
連立で、x=7 y=5  よって、75。
75-57=18になりますね。

(4) 29.4%!
だいたい、ここらへんでどよめく。
扇形内部にある点の数を求めたい。
曲線なのが曲者だが、ありがたいことに図が提供されているので、
格子点を書き、自力で調べる
3:4:5の直角三角形から、(4、3)(3、4)の点が弧の上にくる

横の行や、縦の列ごとに整理して数える。
0はないので、x軸上とy軸上は数えない。
よって、15/36=5/12

(5) 3.3%!!
辺ACを2:1に内分する点を作図する問題。
シンプルだが慣れていないと難しい。キーワードは相似
  
公式解答のやり方は、おそらくこういうことだろう・・↓
まず、ABの中点Dを求める。
Dを通るBCに平行な線と、Cを通るBDに平行な線をひき、交点をEとする。
四角形DBCEは2組の辺が平行である平行四辺形
対辺が等しいのでDB=EC。
△PAB∽△PCE(2角等しい)なので、AB:CE=AP:CP=2:1
よって、点PがACを2:1に内分することになる。
問題の三角形から、相似図形を作りださなくてはならないという鬼畜っぷり。

@書き方@

ABの中点Dは、垂直二等分線。


平行四辺形を書く→Eを作りたい。
平行四辺形は2組の対辺が等しい
そこで、BDの長さをとって、Cを起点にヒョコ。
つづいて、BCの長さをとり、Dからヒョコ。
交点がEで、平行四辺形ができる。
歪んでしまった・・(;´Д`)

BE(平行四辺形の対角線)をひく。
ACとの交点がP!

@別解@
線分を自由自在に内分する、とっておきの方法がある。

Aから適当な半直線をかく。
等しい間隔で、3つヒョコヒョコヒョコ。

3つ目のヒョコとCを結ぶ。
この直線と、2つ目のヒョコを通る平行な線をひく。
すると、三角形と平行線の比から、AP:PC=2:1となる。
上の図で、平行線は角の移動を利用した。

↑丁寧に描ければ、7等分して4:3にも分けられる。

余談だが、日本数学会が実施した「大学生数学基本調査」に関する報告書によると、線分を3等分する作図問題の正答率は、国立Sで13.1%。私立Sにいたっては2.3%。大学生全体で4.4%という惨憺(さんたん)たる結果がでている…。

その惨憺たる結果はコチラ↓
http://mathsoc.jp/comm/kyoiku/chousa2011/report6_25.pdf
PDFファイルです。6ページ目、3「相似を利用した作図」のところですね。
こうならないようにしよう(;・∀・)



大問3(関数)-29.6%

(1) 69.8%
点稼ぎポイント。

AとBの座標が求まる。A(-2、2) B(4、8)
Aをx軸方向に+6、y軸方向に+6移動 →Bなので、
直線ℓの傾きは1。(45度)
Aをx軸方向に+2、y軸方向に+2 → 切片4
よって、y=x+4

(2)【1】 18.1%!
過去問でお馴染み、座標の文字式問題。
Pのx座標をtとおく。P(t、1/2t^2
すると、△PCDと△PBDの面積がtで求められる。

△PCDの面積×6=△PBDの面積で2次方程式。
8×1/2t2 ÷2×6=8×(4-t)÷2
これをtについて解けば答えがでる。
 
もしくは、底辺がともに8なので、高さだけを抜け出してもOK。
底辺が同じで面積が6倍=高さが6倍
1/2t2×6=4-t

3t2+t-4=0
解の公式 t=(-1±√49)/6=-4/3、1
問題文から0<t<4なので、t=1  答え、1

【2】 1.0%!!
回転体ということは丸くなる。
ということは、知りたいところは自ずと限られる。
それは、回転体の半径

(また赤くなってしまった…。ショップ店員に促されて買った末路…)
Pを通るBCに垂直な線をひき、BCとの交点をEとする。
EPが回転体の半径
 
EPは上の平面図から求められる。
【△BCD-(△PCD+△PBD)=△PBC
→△BCDは1:1:√2から底辺BCがわかる。
→△PBC面積×2÷底辺BC=高さEP】
 
△BCD・・8×8÷2=32cm2
△PCDと△PBDの和を求める。
底辺はともに8。△PCDの高さ1/2。△PBDの高さは1/2×6=3
△PCD+△PBD(1/2+3)×8÷2=14cm2
△PBC=32-14=18cm2
BCは△BCDが1:1:√2から、8√2cm
EP=18×2÷8√2=9√2/4
 
回転体の体積は、9√2/4×9√2/4×π×8√2÷3=27√2πcm 3

大問4(平面図形)-43.6%

(1)図形の証明問題。
そんなに難しくはないので取りたい。
 
図形が円に囲まれている→円周角の定理
(a)直径DFから90度となる角を探す。→∠DEF:イ 83.1%

(b)∠DCAと∠DEFの位置関係。 →同位角:カ    81.3%
 
(c) 6点―8.2%! 3点―2.9% 無答―59.4%!
辺の情報が乏しい→角度から攻める。
どの角が等しくなるかを考える。
円周角の定理を用いるので、弧に注目する!

イガグリみたいなのは、対応する弧。
弧DEに対する円周角が緑。
弧ADに対する円周角が青。
錯角のコンボで、2角が等しくなる。
 
-公式解答引用-
【4】より、平行線の錯角は等しいので、
∠AOF=∠DFE ・・【5】
弧DEに対する円周角は等しいから、
∠DFE=∠DAE ・・【6】
【5】【6】より、∠AOF=∠DAE ・・【7】
弧ADに対する円周角は等しいから、
∠AFO=∠DEA ・・【8】
【7】【8】より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△AOF∽△DAE
-引用おわり-

(2) 1.9%!!!
いつも通り。
いつも通り、悩む。
 
(1)の相似ではなく、平行線を利用する。

△AEFは変な場所にあるので、等積変形で△CEFへ移動。
∠CEF=90°
直角三角形DEFは、半径からDO=OF。
また、OC//FEなので、三角形と平行線の比から、DC:CE=1:1
求められそうな気がする。

DCとOCの長さがわかれば、いろいろわかりそう・・。
△DABは、10:8:6=5:4:3の直角三角形。
△DABと△CDBは2角が等しいので相似(5:4:3)
ここに気づけるかどうかが勝負の分かれ目。
直角三角形は相似の宝庫直角三角形の内部に直角三角形があれば相似を疑おう
DC=6×4/5=24/5
CB=6×3/5=18/5
OC=OB-CB=5-18/5=7/5
△DOC∽△DFEに注目。
辺の比は1:2。
CE=DC=24/5
FE=OC×2=7/5×2=14/5
よって、14/5×24/5÷2=168/5cm 2

直角三角形の相似。地味だけど、使いこなせれば応用範囲が広がります。



大問5(規則)-40.6%

(1) 89.0%
整数の倍数に関する規則。
Aは2の倍数、Bは3の倍数、Cは4の倍数、Dは5の倍数、Eは6の倍数でつく
10は2の倍数と5の倍数。よって、AとDがつく。(完答)
表に4回足して調べてもできる。

(2)(a) 57.5%
次にA~Eすべてが点灯するときは、A~Eの全ての倍数。
つまり2、3、4、5、6の最小公倍数
よって、60回。

(b) 13.0%!
60回までにA~Eすべてが点灯していない回数は何回あるか。
点灯しない規則は難しいので、全体から、少なくとも1個は点灯している回数をひく
 
倍数の規則に着目をする。
4と6の倍数は2の倍数である。
言い換えれば、CかEが点灯するときは、必ずAも点灯する。
6の倍数は3の倍数でもある。
言い換えれば、Eが点灯するときは、必ずAとBも点灯する。
↑ここに気づくこと。

つまり、少なくとも1個は点灯している回数は、
2の倍数or3の倍数or5の倍数”だけを考えればいい。
あとはベン図の処理。問題集で解きなれていないと落とす。
2の倍数or3の倍数or5の倍数
=2の倍数+3の倍数+5の倍数-6の倍数-10の倍数-15の倍数30の倍数
=30個+20個+12個-10個-6個-4個+2個=62-20+2=44個
ベン図は重なっているところが重複しますからね3個重複する真ん中は足し算
全てが点灯していない回数=2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でもないのは、
60-44=16回

(3) 3.0%!!
「電球の位置にある点を結んでできる図形が、正五角形の1つの辺と2つの対角線からなる三角形になる」・・ってどういうこと?
 
こういうことです↓

各辺の両端と、各辺の反対側にある頂点を結んだ三角形です。
1辺に1パターン。5辺なのでパターンは5つ。
これら3つだけが点灯している状態を数える。

ここで、さっきの規則を思い出す。
4と6の倍数は2の倍数である。
言い換えれば、CかEが点灯するときは、必ずAも点灯する。
6の倍数は3の倍数でもある。
言い換えれば、Eが点灯するときは、必ずAとBも点灯する。

Eがつく→AとBもつく!
Cがつく→Aもつく!

3つしか点灯してはいけないので、4つ以上点灯するものを除外
ABD→ありうる。
BCE→EによってAもつく。×
ACD→ありうる。
BDE→EによってAもつく。×
CAE→AによってBもつく。×

・ABDが点灯している状態
2の倍数と3の倍数と5の倍数なので、3つ点灯するのは30の倍数。
しかし、30の倍数は6の倍数でもあるので、Eも点灯する→4つ点灯→×

・ACDが点灯している状態
2の倍数と4の倍数と5の倍数なので、3つ点灯するのは20の倍数。
ここから、BかEも点灯している回数をひく
Bは3の倍数、Eは6の倍数なので、
BがつけばEもつくから、点灯回数の多いBだけを考える。
20(ACD)と3(B)の最小公倍数は60。
20の倍数でも60の倍数(Bの点灯…というか全点灯)を除く。
205までに倍数が何個あるかを計算。
20の倍数の個数-60の倍数の個数=10個-3個=7個
よって、ACDだけが点灯している状態は7回となる。
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