平均47.4点
問題はコチラから→PDFファイル
大問1(計算)-77.0%
(1) 97.8%
-18÷(-3)
=6
(2) 85.8%
-32+16×3/4
=-9+12
=3
(3) 52.4%
2x+3y-(x+5y)/2 ←方程式の問題ではないので分母を払わない
=2x-1/2x+3y-5/2y ←展開するとき+5yにもマイナスがかかる
=3/2x-1/2y
(4) 74.4%
x+3.5=0.5(3x-1) ←10倍
10x+35=5(3x-1)
5x=40
x=8
(5) 69.5%
(√2-√5) 2
=2-2√10+5
=7-2√10
(6) 82.1%
(x+2)(x-6)-9 ←前半を展開後、因数分解
=x2-4x-12-9
=x2-4x-21
=(x-7)(x+3)
計30点。解の方程式はなかった。
大問2(小問集合)-42.2%
(1) 66.3%
球の体積は、4/3πr3 球の表面積は、4πr2
よって、体積は32/3πcm3、表面積は16πcm2 → ウ
(2) 49.4%
最近ブレイク中の統計問題。
10~15の度数が9なので、相対度数は9/23を小数に変換。
9÷23=0.39… → 0.4
(3) 62.4%
連立方程式。
十の位の数をx、一の位の数をyとおく。
x+y=12 ・・(1)
もとの整数は10x+yなので、入れかえてできる整数は10y+x
10x+y-18=10y+x
9x-9y=18
x-y=2 ・・(2)
連立で、x=7 y=5 よって、75。
75-57=18になりますね。
(4) 29.4%!
扇形内部にある点の数を求めたい。
曲線なのが曲者だが、ありがたいことに図が提供されているので、
格子点を書き、自力で調べる。
3:4:5の直角三角形から、(4、3)(3、4)の点が弧の上にくる。
横の行や、縦の列ごとに整理して数える。
0はないので、x軸上とy軸上は数えない。
よって、15/36=5/12
(5) 3.3%!!
辺ACを2:1に内分する点を作図する問題。
シンプルだが慣れていないと難しい。キーワードは相似。
公式解答のやり方は、おそらくこういうことだろう↓
まず、ABの中点Dを求める。
Dを通るBCに平行な線と、Cを通るBDに平行な線をひき、交点をEとする。
四角形DBCEは2組の辺が平行である平行四辺形。
対辺が等しいのでDB=EC。
△PAB∽△PCE(2角等しい)なので、AB:CE=AP:CP=2:1
よって、点PがACを2:1に内分することになる。
問題の三角形から、相似図形を作りださなくてはならないという鬼畜っぷり。
@書き方@
ABの中点Dは、垂直二等分線。
平行四辺形を書く→Eを作りたい。
平行四辺形は2組の対辺が等しい。
そこで、BDの長さをとって、Cを起点にヒョコ。
つづいて、BCの長さをとり、Dからヒョコ。
交点がEで、平行四辺形ができる。
歪んでしまった・・(;´Д`)
BE(平行四辺形の対角線)をひく。
ACとの交点がP。
@別解@
線分を自由自在に内分する、とっておきの方法がある。
Aから適当な半直線をかく。
等しい間隔で、3つヒョコヒョコヒョコ。
3つ目のヒョコとCを結ぶ。
この直線と、2つ目のヒョコを通る平行な線をひく。
すると、三角形と平行線の比から、AP:PC=2:1となる。
上の図で、平行線は角の移動を利用した。
↑丁寧に描ければ、7等分して4:3にも分けられる。
余談だが、日本数学会が実施した「大学生数学基本調査」に関する報告書によると、線分を3等分する作図問題の正答率は、国立Sで13.1%。私立Sにいたっては2.3%。大学生全体で4.4%という惨憺(さんたん)たる結果がでている…。
その惨憺たる結果はコチラ↓
http://mathsoc.jp/comm/kyoiku/chousa2011/report6_25.pdf
PDFファイルです。6ページ目、3「相似を利用した作図」のところ。
大問3(関数)-29.6%
(1) 69.8%
AとBの座標が求まる。A(-2、2) B(4、8)
Aをx軸方向に+6、y軸方向に+6移動 →Bなので、
直線ℓの傾きは1。(45度)
Aをx軸方向に+2、y軸方向に+2 → 切片4
よって、y=x+4
(2)【1】 18.1%!
過去問でお馴染み、座標の文字式問題。
Pのx座標をtとおく。P(t、1/2t2)
すると、△PCDと△PBDの面積がtで求められる。
△PCDの面積×6=△PBDの面積で2次方程式。
8×1/2t2 ÷2×6=8×(4-t)÷2
これをtについて解けば答えがでる。
もしくは、底辺がともに8なので、高さだけを抜け出してもOK。
底辺が同じで面積が6倍=高さが6倍
1/2t2×6=4-t
3t2+t-4=0
解の公式 t=(-1±√49)/6=-4/3、1
問題文から0<t<4なので、t=1 答え、1
【2】 1.0%!!
回転体ということは丸くなる。
ということは、知りたいところは自ずと限られる。
それは、回転体の半径。
Pを通るBCに垂直な線をひき、BCとの交点をEとする。
EPが回転体の半径。
EPは上の平面図から求められる。
【△BCD-(△PCD+△PBD)=△PBC
→△BCDは1:1:√2から底辺BCがわかる。
→△PBC面積×2÷底辺BC=高さEP】
△BCD・・8×8÷2=32cm2
△PCDと△PBDの和を求める。
底辺はともに8。△PCDの高さ1/2。△PBDの高さは1/2×6=3
△PCD+△PBD(1/2+3)×8÷2=14cm2
△PBC=32-14=18cm2
BCは△BCDが1:1:√2から、8√2cm
EP=18×2÷8√2=9√2/4
回転体の体積は、9√2/4×9√2/4×π×8√2÷3=27√2πcm 3
大問4(平面図形)-43.6%
(1)図形の証明問題。
そんなに難しくはないので取りたい。
図形が円に囲まれている→円周角の定理
(a)直径DFから90度となる角を探す。→∠DEF:イ 83.1%
(b)∠DCAと∠DEFの位置関係。 →同位角:カ 81.3%
(c)6点―8.2%! 3点―2.9% 無答―59.4%!
辺の情報が乏しい→角度から攻める。
どの角が等しくなるかを考える。
円周角の定理を用いるので、弧に注目する!
イガグリみたいなのは、対応する弧。
弧DEに対する円周角が緑。
弧ADに対する円周角が青。
錯角のコンボで、2角が等しくなる。
-公式解答引用-
【4】より、平行線の錯角は等しいので、
∠AOF=∠DFE ・・【5】
弧DEに対する円周角は等しいから、
∠DFE=∠DAE ・・【6】
【5】【6】より、∠AOF=∠DAE ・・【7】
弧ADに対する円周角は等しいから、
∠AFO=∠DEA ・・【8】
【7】【8】より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△AOF∽△DAE
-引用おわり-
(2) 1.9%!!!
いつも通り、悩む。
(1)の相似ではなく、平行線を利用する。
△AEFは変な場所にあるので、等積変形で△CEFへ移動。
∠CEF=90°
直角三角形DEFは、半径からDO=OF。
また、OC//FEなので、三角形と平行線の比から、DC:CE=1:1
求められそうな気がする。
DCとOCの長さがわかれば、いろいろわかりそう。
△DABは、10:8:6=5:4:3の直角三角形。
△DABと△CDBは2角が等しいので相似(5:4:3)
ここに気づけるかどうかが勝負の分かれ目。
直角三角形は相似の宝庫。直角三角形の内部に直角三角形があれば相似を疑おう!
DC=6×4/5=24/5
CB=6×3/5=18/5
OC=OB-CB=5-18/5=7/5
△DOC∽△DFEに注目。
辺の比は1:2。
CE=DC=24/5
FE=OC×2=7/5×2=14/5
よって、14/5×24/5÷2=168/5cm2
直角三角形の相似。地味だけど、使いこなせれば応用範囲が広がります。
大問5(規則)-40.6%
(1) 89.0%
整数の倍数に関する規則。
Aは2の倍数、Bは3の倍数、Cは4の倍数、Dは5の倍数、Eは6の倍数でつく。
10は2の倍数と5の倍数。よって、AとDがつく。(完答)
表に4回足して調べてもできる。
(2)(a) 57.5%
次にA~Eすべてが点灯するときは、A~Eの全ての倍数。
つまり2、3、4、5、6の最小公倍数。
よって、60回。
(b) 13.0%!
60回までにA~Eすべてが点灯していない回数は何回あるか。
点灯しない規則は難しいので、全体から、少なくとも1個は点灯している回数をひく。
倍数の規則に着目をする。
4と6の倍数は2の倍数である。
言い換えれば、CかEが点灯するときは、必ずAも点灯する。
6の倍数は3の倍数でもある。
言い換えれば、Eが点灯するときは、必ずAとBも点灯する。
↑ここに気づくこと。
つまり、少なくとも1個は点灯している回数は、
”2の倍数or3の倍数or5の倍数”だけを考えればいい。
あとはベン図の処理。問題集で解きなれていないと落とす。
2の倍数or3の倍数or5の倍数
=2の倍数+3の倍数+5の倍数-6の倍数-10の倍数-15の倍数+30の倍数
=30個+20個+12個-10個-6個-4個+2個=62-20+2=44個
ベン図は重なっているところが重複しますからね!3個重複する真ん中は足し算。
全てが点灯していない回数=2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でもないのは、
60-44=16回
(3) 3.0%!!
「電球の位置にある点を結んでできる図形が、正五角形の1つの辺と2つの対角線からなる三角形になる」
こういうことです↓
各辺の両端と、各辺の反対側にある頂点を結んだ三角形です。
1辺に1パターン。5辺なのでパターンは5つ。
これら3つだけが点灯している状態を数える。
ここで、さっきの規則を思い出す。
4と6の倍数は2の倍数である。
言い換えれば、CかEが点灯するときは、必ずAも点灯する。
6の倍数は3の倍数でもある。
言い換えれば、Eが点灯するときは、必ずAとBも点灯する。
Eがつく→AとBもつく!
Cがつく→Aもつく!
3つしか点灯してはいけないので、4つ以上点灯するものを除外。
ABD→ありうる。
BCE→EによってAもつく。×
ACD→ありうる。
BDE→EによってAもつく。×
CAE→AによってBもつく。×
・ABDが点灯している状態
2の倍数と3の倍数と5の倍数なので、3つ点灯するのは30の倍数。
しかし、30の倍数は6の倍数でもあるので、Eも点灯する→4つ点灯→×
・ACDが点灯している状態
2の倍数と4の倍数と5の倍数なので、3つ点灯するのは20の倍数。
ここから、BかEも点灯している回数をひく。
Bは3の倍数、Eは6の倍数なので、
BがつけばEもつくから、点灯回数の多いBだけを考える。
20(ACD)と3(B)の最小公倍数は60。
20の倍数でも60の倍数(Bの点灯…というか全点灯)を除く。
205までに倍数が何個あるかを計算。
20の倍数の個数-60の倍数の個数=10個-3個=7個
よって、ACDだけが点灯している状態は7回となる。
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