2020年度 山梨県公立高校入試過去問【数学】解説

平均53.9点(前年比;-1.7点、最高97点最低0点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1) 97%
10-(-4)
=10+4=14

(2) 84%
7/15×(-3)+4/5
=-7/5+4/5
=-3/5

(3) 98%
(-3)2+7
=9+7=16

(4) 95%
√24+8√6
=2√6+8√6
=10√6

(5) 89%
27xy×x2÷(-9x2y)
=-3x

(6) 87%
3(x+6y)-2(x+8y)
=3x+18y-2x-16y
=x+2y

大問2(小問集合)

(1) 75%
2x2-7x+4=0
因数分解ができそうでできないので、素直に解の公式。
x=(7±√17)/4

(2) 47%
『AB、ACまでの距離が等しい点』
→∠BACの二等分線
これとBCとの交点に●をかく。

(3) 79%
比例;y=ax
(x、y)=(-3、36)を代入。
36=-3a
a=-12
y=-12x

(4) 41%
4本中3本が当たりだから、Aが当たる確率は3/4。
Aがひいたくじは戻すので、Bが当たる確率は3/4で同じ。
2人とも当たる確率は、3/4×3/4=9/16

(5)① 86%

対応する角に気をつけよう。
∠ECD=∠CAB=180-(115+40)=25°

② 45%

ここで130°を用いる。
Aの回転先はC。∠AOC=130°
この円周角である∠AEC=130÷2=65°
∠CED=∠ACB=40°なので、∠AED=65+40=105°


大問3(資料問題)

(1)① 88%
最頻値(モード)…最もあらわれている値。
2.0g

② 61%
424個の中央値(メジアン)は212番目と213番目の平均→2.2g

(2)①記号―88%、説明―58%(部分正答11%)
イ;キャップと回収箱の合計の重さから空の回収箱の重さを引き、
その差をキャップ1個あたりの重さで割る。
*キャップの個数を求める方法を説明する。
(合計の重さ-回収箱の重さ)÷キャップ1個の重さ=キャップの個数

② 14%!
標本調査。
無作為に取り出した50個のうち、印付きは4個。
印付きは全部で100個だから、50×100/4=1250個

大問4(整数)

(1) 43%
aやbの中身は考えない。問題文から等式を立てる。
a-b=-18
b=a+18

(2) 37%
18の倍数にならない反例を挙げる。
aとbの差が18未満だと18の倍数にならない
12と21の差は9で×。(ア:21、イ:9)
34と43もダメ。(ア:43、イ:9)
xとyの値が1違いだと差が9になるからである。

後ろの設問でやるが、x-yが奇数だとダメ。
aが10、30、50もダメ。14、18、27、38どれも差が奇数でダメ。
位の数の差が奇数ということは、aが奇数であればbは偶数となり、
aが偶数であればbは奇数となる。(27は奇数だが72は偶数のように)
奇数-偶数も偶数-奇数も奇数だから、aとbの差が偶数の18の倍数にはならない。

(3)① 27%!
情報整理が問われる。
問題文より、a-b=9(x-y)
この値が54であり、x=8を代入してyを求める。
9(8-y)=54
y=2
(x、y)=(8、2)
xはaの十の位、yはaの一の位なので、a=82
bはそれを逆にした数だから、
b=28

②条件―14%!(部分正答1%)、最大値―13%!
9(x-y)のx-yが整数だから、9(x-y)は9の倍数。
さらに、9(x-y)が18の倍数といえるには、x-yが2の倍数(偶数)のとき。
9の倍数×2の倍数=18の倍数
xとyは位の数なので0≦<x,y≦9。
偶数の最大値は8(9-1=8、8-0=8)
(xーyが)2の倍数である、最大値:x-y=8

大問5(関数)

(1) 78%
y=ax2にA(-2、2)を代入。
2=(-2)2
a=1/2

(2) 17%!

4つの座標を確認。AとDのy座標が等しい
四角形ACDBをADで分割して△ABD
と△ACDに分ける
AD=4
2つの三角形の高さはのところ。その合計はBGにあたる。
BG=9/2-1/2=4
四角形ACDBの面積は、4×4÷2=8

(3)① 38%
EとFの座標を確認。
E(-3、9/2)
F(4、8)
E→Fは右に7、上に8-9/2=7/2移動する。
傾き(変化の割合)はyの増加量÷xの増加量→7/2÷7=1/2
Fから左に4移動すると、傾きは1/2だから下に2移動する。
切片は8-2=6
y=1/2x+6

② 2%!!

なんとなくEFとCDが平行にみえる(*´~`*)
幾何ではこういう発想は大事です。
試しにCDの傾きを調べてみる。
C→Dは右に3、上に2-1/2=3/2
傾き(変化の割合)は、3÷3/2=1/2
前問でEFの傾きは1/2だったから、やはりEF//CD

四角形AECDは1組の対辺が平行な台形となる。
台形を対角線で分割した2つの三角形の面積比は上底:下底の比
すなわち、△FEC:△FCDの面積比はEF:CDに相当する

EFとCDを斜辺とする、2つの直角三角形は相似。
各々の辺の比はx座標の差から7:3。
EF:CD=7:3
△FEC:△FCDの面積比は7:3。


大問6(平面図形)

(1) 24%!(部分正答55%)
△ABH∽△AODの証明。

共通角
接点Dから接線ABと半径ODは直交する→∠ODA=90°
2角相等で∽。

(2)① 81%
△ABHで三平方。
AH=√(6-42)=2√5cm

② 6%!!
円Oの面積を求めるには、半径ODが知りたい。
ODは△AODの1辺。
そこで、(1)の△ABH∽△AODを用いる。
AH:BH=AD:OD
ADの長さが不明。

BOに補助線。
共通辺OB、半径OD=OH、垂直
→斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で△BOD≡△BOH
(内接円の問題でよくでてくる)
BD=BH=4cm
AD=6-4=2cm

AH:BH=AD:OD
2√5:4=2:OD
OD=4×2/2√5=4√5/5
円Oの面積は、(4√5/5)2π=16/5πcm2

(3)① 4%!!
△ABCは1辺6cmの正三角形。

△BOD≡△BOHから∠OBD=30°(内接円の中心(内心O)は∠ABCの二等分線にある)
同様に∠OCB=30°、直線ℓ//BCより、錯角で∠OFE=30°
接線と半径は垂直に交わるので、∠ODB=OEF=90°
△ODBと△OEFの内角はともに30°-60°-90°で、
半径OD=OEを加味すると、1辺と両端角が等しく合同

CDは△ABCを2等分する→BD=3cm
△ODBの辺の比は1:2:√3だから、
DO=√3cm、BO=2√3cm

図形Tの周の長さ=△ODB+△OEF-OD×2
△ODBの周の長さを2倍して、重複するDOを2倍した長さを引く。
(3+√3+2√3)×2-√3×2
=4√3+6cm

② 1%!!!
( ゚A゚)y-~

↑こんな感じの立体の体積を求めます(´゚д゚`)
どういう切り口で挑めばよいのやら・・。

思うに、△OEFと△OHBは合同なので、
回転させたときの円錐の体積も同じである。


というわけで、△OEFを△OHBに引越しさせて回転させる
正面からみると台形DBCD’の回転体(円錐台)から、
二等辺三角形DOD’の回転体(円錐)を引くイメージ。

辺の比が1:2:√3の直角三角形より、AO=2√3cm、OH=√3cm
DはABの中点なので、Dから回転の軸までの距離は3÷2=3/2cm

体積の算出は底辺の半径3cm、高さ3√3cmの円錐から、
上部にある底辺の半径3/2cm、高さの合計2√3cmの円錐を引くと計算しやすい。
3×3×π×3√3÷3-3/2×3/2×π×2√3÷3
=9√3π-3√3/2π
=15√3/2πcm3

大問1
正答率が高い!ここでミスしたくない。
大問2
(2)作図。正答率が50%未満だけど難しくないヨ。
(5)②回転問題に対処できていた。
大問3
(2)②標本調査が悪い(゚Д゚)中身は小問に出てくるタイプと一緒。
大問4
a・b・x・yがそれぞれ何を指しているか、しっかりおさえる。
(1)見慣れない形式で戸惑ったか。等式の整理で終了。
(2)答えはたくさんあるので、適当な代入でも正答できる。
大問5
(2)ADがx座標に平行な場合はそこで分割。等積変形しない。
(3)②なんとなくそう見えるという発想は大事。そのあとの検証も大事。
大問6
(2)②内接円と相似。今年の沖縄大問9に類題あり。
(3)①角度認定。有名な直角三角形で辺の長さを洗い出し、重複部分を控除する。
②ここはとくにムズかしかった(( ;゚д゚))
分割で足してもできるが、計算量が多くなると時間とミスがこわい。
平面で合同図形を移転させ、回転体を柔軟に変形させる。
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