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大問1(小問集合)
(1)
9+6÷(-1/2)
=9-12
=-3
(2)
(3a-b)/4-(5a+7b)/8
={2(3a-b)-(5a+7b)}/8
=(6a-2b-5a-7b)/8
=(a-9b)/8
(3)
(√6-1)2
=6-2√6+1
=7-2√6
(4)
7(x-2)=5x-4
7x-14=5x-4
2x=10
x=5
(5)
y=x+1 …①
x-2y=-9 …②
①を②に代入、x-2(x+1)=-9
x=7
①に代入、y=7+1=8
x=7、y=8
(6)
x2+3x-8=0
解の公式を適用して、x=(-3±√41)/2
(7)
y=1/2x2は下に凸のグラフ。
原点を通過するので、x=0のとき、最小値y=0
x=6のとき、最大値y=1/2×62=18
0≦y≦18(ウ)
(8)
『bがaの約数になる』→aで場合分け。
a=1→b=1
a=2→b=1・2
a=3→b=1・3
a=4→b=1・2・4
a=5→b=1・5
a=6→b=1・2・3・6
計14通り。全体は6×6=36通りだから、確率は14/36=7/18
あ…7、い…1、う…8
(9)
Aを通る直線ℓに対する垂線をひき、直線mとの交点がP。
大問2(文字式)
(1)
正方形の1辺は、3cm×枚数分の長さから重なり部分の和(1cm×間の数)をひく。
白い部分を四隅に寄せた正方形の1辺は、さらに重なり部分の和をひく。
2つの正方形の差が重なり部分の面積になる。
n=5
正方形の1辺…3×5-1×4=11cm
寄せた正方形の1辺…11-1×4=7cm
重ね合わせた部分の面積…11×11-7×7=72cm2
ウ
(2)
説明問題。
3の倍数であることを証明する→3でくくる形を意識する。
正方形の1辺…3n-1(n-1)=2n+1cm
寄せた正方形の1辺…(2n+1)-(n-1)=n+2cm
Pの面積…(2n+1)2-(n+2)2
=4n2+4n+1-n2-4n-4
=3n2-3
=3(n2-1)
nは2以上の自然数なのでn2-1は整数だから、3(n2-1)は3の倍数。
したがって、Pは3の倍数になる。
大問3(関数)
(1)
y=-1/2x+7にy=10を代入する。
10=-1/2x+7
x=-6
ア
(2)
y=-1/2x+7にx=8を代入。
y=-1/2×8+7=3
C(-4、-3)→P(8、3)
右に12、上に6だから、傾きは6/12=1/2
Cから右に4、上に2移動して、切片は-3+2=-1
m:y=1/2x-1
①…ウ、②…イ
(3)
Cの位置は変わらない。ℓとmの交点であるPの位置が変わる。
△ACP:△PRQ=⑥:①
Cを通るℓに平行な線をひき、y軸との交点をC’とする。
傾きは-1/2だから、Cから右に4、下に2移動して、C’(0、-5)
等積変形で△AC’P=⑥、AC’//PR
△AC’Pと△PQRは高さ一定なので、底辺の比が面積比あたる。
すなわち、AC’:PR=6:1
AC’=7-(-5)=12
PR=12×1/6=2
RはPとx軸について対称だから、Pのy座標は1。
これをy=-1/2x+7に代入すると、x=12
大問4(平面図形)
(1)
直径AB→弧ABは半円の弧。
弧AC=弧BCということは、弧BCは4分の1円の弧である。
∠BOC=90°、その円周角である∠BQC=45°
△CRQの内角から、∠CRQ=180-(45+a)=135-a°
イ
(2)①
△BSQが二等辺三角形である証明。
平行と円しかないので、角度(2つの底角)を狙う。
弧PQの円周角で∠PBQ=∠PCQ
PS//CQとCP//QSから四角形CPSQは2組の対辺が平行→平行四辺形。
対角は等しいので、∠PCQ=∠PSQ
∠BSQ=∠SBQで2つの底角が等しいから、△BSQは二等辺三角形。
②
ABとCQの交点をTとする。
BP//CQの同位角で、∠ATQ=75°
(1)より、∠BQC=45°であった。
△QBTで外角定理→∠QBT=75-45=30°
∠SBQ=75-30=45°
(2)①から△BSQは二等辺→内角は45°―45°―90°だから直角二等辺。
AQに補助線。半円の弧に対する円周角から∠AQB=90°
△ABQは30°―60°―90°→辺の比が1:2:√3の有名三角形である。
【AB→QB→SB】
SB=4×√3/2×√2=2√6cm
え…2、お…6
大問5(空間図形)
(1)
∠MPNを調べるには△PMNの特徴をつかむ。
∠CBD≠90°に注意!
△PMBと△PNBは3:4:5の直角三角形→PM=PN=5cm
△BMN∽△BCDより、MN=10÷2=5cm
△PMNは3辺が5cmの正三角形→∠MPN=60°
か…6、き…0
(2)
体積を求めるので、まず全体の三角錐A―BCDを出せるようにしておく。
底面の△BCDは等辺が6cm、底辺が10cmの二等辺三角形。
→半分に割って三平方を使うと高さは√11cm。
また、P・M・Nはそれぞれの辺の中点なので、
三角錐の体積比は、B―PMN:B―ACD=①:⑧
ここで、三角柱PQR―BMNに着目する。
【錘×3=柱】
三角錐P―BMN(①)を3倍して、三角柱の体積は③。
ということは、求積すべき四角錘P―MNRQの体積は②にあたる。
したがって、10×√11÷2×6÷3×②/⑧=5√11/2cm3
く…5、け…1、こ…1、さ…2
大問1
配点46点。いずれも基本レベルなので完走したい。
大問2
(1)ここから差がつきやすい。規則の要素を含んでいる。
nが1増えると正方形の1辺は5・7・9・11…、
寄せた正方形の1辺は重なり部分を2度ひいて4・5・6・7…、
1辺の差は1・2・3・4…と拡大していく。
(2)前問の規則を頼りにnで式を立てる。
全滅した生徒が少なくなさそう。。
大問3
(3)PRがy軸に平行なので、等積変形でACをy軸に移す。
2つの三角形は高さが同じ→底辺の比からPRの長さ→Pのy座標→x座標の流れ。
大問4
(1)45°を導けるか。弧BCは4分の1円の弧。
(2)②情報が足りないときは角度調査。
勘の良い人は75=30+45→有名三角形?と気づいたかも。
大問5
(2)求積すべき立体は四角錘なので、そのまま体積を求めてもいい。
MN=5cm、RN=3cm、高さが√11/2cm
5×3×√11/2÷3=5√11/2cm3
いずれにせよ、二等辺三角形の高さを三平方で求める必要はある。
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