2016年度　栃木県公立高校入試【数学】解説

記述問題多し。規則性のラストは倍数との戦い。
速さは関数を使いませんでした（＾＾；
問題はコチラから→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）　97.0％
５－（－４）＝９

（２）　87.8％
１/３ａｂ³×９ａ²ｂ
＝３ａ³ｂ⁴

（３）　88.6％
４√６÷√２＝４√３

（４）　82.1％
２ｘ＋ｙ＝２×（ー１）＋１/４＝ー７/４

（５）　93.4％
（ｘ－５）（ｘ－７）＝ｘ²－１２ｘ＋３５

（６）　92.5％
対頂角が同じなので、残りの２角の和も等しい。
５６＋６０＝８２＋ｘ　　ｘ＝３４°

（７）　85.5％
比例定数a＝ｘｙ　→ｙ＝１２/ｘ

（８）　75.3％
３ａ＋８ｂ＞４０００

（９）　64.0％
ｙについて求める。
２ｙ＝－４ｙ＋５　→　ｙ＝ー２ｘ＋５/２
答えは傾きだけなので、－２。

（10）　77.2％
解の公式を適用。
ｘ＝（－５±√１３）/６

（11）　62.7％
５×６×１/２×８×１/３＝４０ｃｍ³

（12）　66.1％
標本が６個なので、メジアンは３番目と４番目の平均値。
（６＋８）÷２＝７点

（13）　67.2％
三平方の定理。
√{（７－１）²＋（５－２）²}＝√（３６＋９）＝√４５＝３√５

（14）　73.1％
ただの面積比。
３×３：２×２＝９：４
ここまでで配点は２８点

大問２（小問複合２）

（１）公式解答参照　65.5％（部分正答含む－72.7％）
*作図。半直線ＢＣをひき、Ａを通り半直線と垂直な線をひく。

（２）４/１５　67.6％
*確率。全体・・５×３＝１５通り。
和が４・・（１、３）（３、１）（２、２）
和が８・・（５、３）。Ｂは１～３なので（３、５）はない！
よって、４/１５

（３）１/２　50.1％
*（ｙの増加量）/（ｘの増加量）＝変化の割合
（９ａ－ａ）./（３－1）＝２
８ａ＝４、ａ＝１/２
もしくは、ｙ＝ａｘ²でｐ→ｑの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）＝変化の割合なので、
（1＋3）ａ＝２、ａ＝１/２

大問３（文章題）

（１）スチール缶1ｋｇあたり８円、アルミ缶１ｋｇあたり６０円
83.4％（部分正答含む－95.3％）
*記述式。連立方程式を立てて解くだけ。
２５ｘ＋１０ｙ＝８００
１５ｘ＋５ｙ＝４２０
答えは、スチール缶１ｋｇあたり・・円、アルミ缶１ｋｇあたり・・円と答える。

（２）６ｃｍ　24.5％！（部分正答含む－46.7％）
*記述式。回転体の表面積から、底面の円の半径を求める。
回転体の底面積は円で２つ、側面積は円周×高さ。
よって、２πｘ²＋２πｘ×２＝２πｘ²＋４πｘ＝９６π
２πｘ²＋４πｘ＝９６π
ｘ²＋２ｘ＝４８　　←両辺を÷２π
ｘ²＋２ｘ－４８＝（ｘ＋８）（ｘ－６）＝０
ｘは長さなのでｘ＞０、よって、ｘ＝６、６ｃｍ

大問４（平面図形）

（１）公式解答参照　19.5％！（部分正答含む－81.9％）
*証明問題。ＡＢ＝ＡＥ（対辺）、∠ＡＢＱ＝∠ＡＥＰ（対角）。
∠ＢＡＱ＝∠ＥＡＰの証明は、公式解答のように∠ＢＡＰ＝∠ＥＡＱから∠ＱＡＰをひく。
別解としては、ＡＰ//ＢＱで∠ＢＱＡ＝∠ＰＡＱ（錯角）
ＱＡ//ＰＥで∠ＰＡＱ＝∠ＡＰＥ（錯角）
∠ＢＱＡ＝∠ＡＰＥとなるので、残りの角も等しい→∠ＢＡＱ＝∠ＥＡＰとも説明できる。
１辺両端角が等しいので、合同となる。

（２）１：（４５－ａ/２）°　3.1％!!
２：４/３π－√３ｃｍ²　　　0.8％!!!
*１：ＯＣに補助線をひけたかどうか。
ＡＥ//ＣＤより、∠ＤＡＥ＝∠ＡＤＣ（錯角）
△ＯＣＤで接線と円の半径は垂直だから、
∠ＯＣＤ＝９０°、残りの角である∠ＤＯＣ＝１８０－（９０＋ａ）＝９０－ａ
この角度は弧ＢＣの中心角である。円周角定理より、∠ＢＡＣ＝（９０－ａ）÷２＝４５－ａ/２
２：△ＥＯＢは３つの角が６０°になる（正三角形）
∠ＥＯＡ＝１８０－６０＝１２０°
半径２ｃｍ、中心角１２０°の扇型から、△ＡＯＥをひけばいい。
△ＡＯＥの高さは、正三角形ＥＯＢの高さ→三平方で√３
よって、２×２×π×120/360－２×√３×１/２＝４/３π－√３

大問５（速さ）

（１）４ｋｍ　71.5％
*５４分で１８ｋｍ。
１２分では１８×１２/５４＝４ｋｍ

（２）１：ｙ＝２/１５　11.5％！
２：３３　　0.4％！！（部分正答含むー10.8％）
*１：情報整理。
花子は５４分で１８ｋｍ（６周）。
花子の速さは、１８÷５４＝分速１/３ｋｍ
１周は、１８÷６＝３ｋｍ
１５分後に父が抜かれた。→父が周回遅れとなる→父と花子の差が３ｋｍになる。
父と花子は、１分あたり３ｋｍ÷１５分＝１/５ｋｍずつ差が縮まる。
花子の速さは分速１/３ｋｍで、同じ方向を出発するから、
父の速さは１/３－１/５＝２/１５ｋｍ（分速）
式で表すので、ｙ＝２/１５ｘ
２：ここも記述式。公式解答は、父と花子の式をそれぞれ求めている。
自分は中学受験のやり方でやります（数学的な手法は公式解答参照で）。
花子の速さは分速１/３ｋｍ、お父さんの速さは分速１/６ｋｍなので、
１分あたり１/３－１/６＝１/６ｋｍずつ差が縮まる。
お父さんが花子に追い抜かれてから再度追い抜かれるので、
２人の差が３ｋｍになるのは、１度目に追い抜かれてから、
３÷１/６＝１８分後。よって、出発してから、１５＋１８＝３３分後。ｔ＝３３
こちらの方が楽だと思われる。

（３）２８分４８秒　0.6％!!!
*太郎は４８分で３周。
太郎の速さ・・３×３/４８分＝分速３/１６ｋｍ
太郎と花子は逆方向に出発するので、
１分あたり、３/１６＋１/３＝２５/４８ｋｍずつ差が縮まる。
スタート時に差は３ｋｍ（１周）なので、３÷２５/４８＝１４４/２５分
ここを出発点する、次も１４４/２５分後に太郎と花子が出会う。
よって、５度目にすれ違うのは、１４４/２５×５＝１４４/５＝２８・４/５分＝２８分４８秒

大問６（規則）

（１）４００ｃｍ²　59.9％
*問題文をきちんと読んで情報を整理。
長方形を下につなぎ、右につなぐ。
つなぎ方は２通りあり、いずれかをとるかは小問による。
（１）はすべて（イ）のつなぎ方。すなわち、重なりがない。
したがって、縦・・５×２＝１０ｃｍ、横・・８×４＝４０ｃｍ。
１０×４０＝４００ｃｍ²

（２）９１ｃｍ²　2.8％!!
*今度はすべて（ア）のつなぎ方。すべての長方形に重なりができる。
重なりに注意して、縦と横の長さを求める。
縦・・最初は５ｃｍ、２枚目以降は重なりを除外した４ｃｍずつ増えていく考え方で
５＋４×（３－１）＝１３ｃｍ
もしくは、全体から重なりの合計をひく考え方で、
５×３－１×（３－１）＝１３ｃｍでも求められる。（以下、こちらの手法）
横・・同様に、８×４－１×（４－１）＝２９ｃｍ
重なった部分の面積を求める。
重なっている列＋重なっている行－２重に重なっているマス
重なっている列は、縦１３ｃｍ²×（４－１）本＝３９ｃｍ²
重なっている行は、横２９ｃｍ²×（3－1）本＝５８ｃｍ²
２重に重なっているマスは、１ｃｍ²×（３－１）×（４－１）＝６ｃｍ²
よって、３９＋５８－６＝９１ｃｍ²

別解としては、重なっていない部分を右下につめてしまう考え方もある。
例えば、重なっていない部分は田んぼ、重なっている部分は道。
土地のなかで道の面積を求めたい場合、田んぼを右下につめてしまえば、
田んぼの面積が長方形となり、土地の面積から田んぼの面積をひけば道の面積がでる。
重なっていない部分を右下につめると、その面積は（１３－２）×（２９－３）＝２８６ｃｍ²
全体は、１３×２９＝３７７ｃｍ²。よって、重なっている部分は３７７－２８６＝９１ｃｍ²

（３）公式解答参照　1.1％!!（部分正答含む－5.5％）
*整数の証明問題。
縦は（ア）で横は（イ）。重なった部分は縦の計算のみ！
（つなぎ方（ア）に関しては、公式解答とは異なったやり方）
縦の枚数はｍなので、横の枚数はｍ＋４枚となる。
周の長さは、（縦の長さ＋横の長さ）×２
ℓ＝２{５ｍ－１×（ｍ－１）＋８（ｍ＋４）}＝２（１２ｍ＋３３）＝６（４ｍ＋１１）
ｍは整数だから４ｍ＋１１は整数。６（４ｍ＋１１）は６の倍数。
よって、ℓは６の倍数となる。

（４）１５、２２、２３　0.0％!!!（部分正答含む－3.2％）
*つなぎ方の条件が指定されていないので、（ア）と（イ）を何回使ってもいいことになる。
（イ）はそのままだが、（ア）の２枚目以降は重なりから１ｃｍ使われる。いいかえれば、
縦は５からスタートして＋４か＋５を増やす
横は８からスタートして＋７か＋８を増やす
これらの合計で縦＝横となるとき、その長さはいくつになるか、という問題。

縦より長い横を基準に調べる。
８・・作れない
８＋７＝１５＝５×３・・作れた。○
８＋８＝１６・・４×４だが、はじめに５を使うので作れない。
８＋７＋７＝２２＝５×２＋４×３・・○
８＋８＋７＝２３＝５×３＋４×２・・○
よって、１５ｃｍ、２２ｃｍ、２３ｃｍ。

ちなみに続けると・・
８＋８＋８＝２４＝５×４＋４×１・・○
８＋７＋７＋７＝２９＝５×５＋４×１・・○
８＋８＋７＋７＝３０・・５×６・・○
８＋８＋８＋７＝３１・・５×３＋４×４・・○
８＋８＋８＋８＝３２・・５×４＋４×３・・○
８＋７＋７＋７＋７＝３６＝５×４＋４×４・・○

あれ・・全部出来る・・。
観察すると、５が増えて４が減っていますよね。
４と５は差が１なので、数を調節すれば和でほとんどの自然数を表せるのです。
５で折り返す図を作って・・
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・

↓
５の倍数は５で作れるので削除
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・

↓
４の倍数は４で作れるので削除。階段状にあらわれる。
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・

↓
削除した４の倍数の下は、＋５をすれば全てつくれるので削除。
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・
すると、階段状に数字が残り、最下段にある１１が、
４と５をいくつか使っても和で表すことのできない数の最大数になる。
裏を返せば、１１より大きい数は、４と５の和で表せる。
本問では、”最初に５を使う条件”があるので、１１＋５＝１６よりも大きければ
いくつでも数を表すことができるので、縦の長さがいくつでも正方形をつくることができる。
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