2016年度 栃木県公立高校入試【数学】解説

記述問題多し。規則性のラストは倍数との戦い。
速さは関数を使いませんでした(^^;
問題はコチラから→リセマムさん

大問1(小問集合)

(1) 97.0%
5-(-4)=9

(2) 87.8%
1/3ab3×9a2
=3a34

(3) 88.6%
4√6÷√2=4√3

(4) 82.1%
2x+y=2×(ー1)+1/4=ー7/4

(5) 93.4%
(x-5)(x-7)=x2-12x+35

(6) 92.5%
対頂角が同じなので、残りの2角の和も等しい。
56+60=82+x  x=34°

(7) 85.5%
比例定数a=xy →y=12/x

(8) 75.3%
3a+8b>4000

(9) 64.0%
yについて求める。
2y=-4y+5 → y=ー2x+5/2
答えは傾きだけなので、-2。

(10) 77.2%
解の公式を適用。
x=(-5±√13)/6

(11) 62.7%
5×6×1/2×8×1/3=40cm3

(12) 66.1%
標本が6個なので、メジアンは3番目と4番目の平均値。
(6+8)÷2=7点

(13) 67.2%
三平方の定理。
√{(7-1)2+(5-2)2}=√(36+9)=√45=3√5

(14) 73.1%
ただの面積比。
3×3:2×2=9:4
ここまでで配点は28点

大問2(小問複合2)

(1)公式解答参照 65.5%(部分正答含む-72.7%)
*作図。半直線BCをひき、Aを通り半直線と垂直な線をひく。

(2)4/15  67.6%
*確率。全体・・5×3=15通り。
和が4・・(1、3)(3、1)(2、2)
和が8・・(5、3)。Bは1~3なので(3、5)はない!
よって、4/15

(3)1/2  50.1%
*(yの増加量)/(xの増加量)=変化の割合
(9a-a)./(3-1)=2
8a=4、a=1/2
もしくは、y=ax2でp→qの変化の割合はa(p+q)=変化の割合なので、
(1+3)a=2、a=1/2

大問3(文章題)

(1)スチール缶1kgあたり8円、アルミ缶1kgあたり60円
83.4%(部分正答含む-95.3%)
*記述式。連立方程式を立てて解くだけ。
25x+10y=800
15x+5y=420
答えは、スチール缶1kgあたり・・円、アルミ缶1kgあたり・・円と答える。

(2)6cm  24.5%!(部分正答含む-46.7%)
*記述式。回転体の表面積から、底面の円の半径を求める。
回転体の底面積は円で2つ、側面積は円周×高さ。
よって、2πx2+2πx×2=2πx2+4πx=96π
2πx2+4πx=96π
2+2x=48  ←両辺を÷2π
2+2x-48=(x+8)(x-6)=0
xは長さなのでx>0、よって、x=6、6cm

大問4(平面図形)

(1)公式解答参照  19.5%!(部分正答含む-81.9%)
*証明問題。AB=AE(対辺)、∠ABQ=∠AEP(対角)。
∠BAQ=∠EAPの証明は、公式解答のように∠BAP=∠EAQから∠QAPをひく。
別解としては、AP//BQで∠BQA=∠PAQ(錯角)
QA//PEで∠PAQ=∠APE(錯角)
∠BQA=∠APEとなるので、残りの角も等しい→∠BAQ=∠EAPとも説明できる。
1辺両端角が等しいので、合同となる。

(2)1:(45-a/2)°  3.1%!
2:4/3π-√3cm2    0.8%!!
*1:OCに補助線をひけたかどうか
AE//CDより、∠DAE=∠ADC(錯角)
△OCDで接線と円の半径は垂直だから、
∠OCD=90°、残りの角である∠DOC=180-(90+a)=90-a
この角度は弧BCの中心角である。円周角定理より、∠BAC=(90-a)÷2=45-a/2
2:△EOBは3つの角が60°になる(正三角形)
∠EOA=180-60=120°
半径2cm、中心角120°の扇型から、△AOEをひけばいい。
△AOEの高さは、正三角形EOBの高さ→三平方で√3
よって、2×2×π×120/360-2×√3×1/2=4/3π-√3



大問5(速さ)

(1)4km  71.5%
*54分で18km。
12分では18×12/54=4km

(2)1:y=2/15  11.5%!
2:33  0.4%!!(部分正答含むー10.8%)
*1:情報整理。
花子は54分で18km(6周)。
花子の速さは、18÷54=分速1/3km
1周は、18÷6=3km
15分後に父が抜かれた。→父が周回遅れとなる→父と花子の差が3kmになる
父と花子は、1分あたり3km÷15分=1/5kmずつ差が縮まる。
花子の速さは分速1/3kmで、同じ方向を出発するから、
父の速さは1/3-1/5=2/15km(分速)
式で表すので、y=2/15x
2:ここも記述式。公式解答は、父と花子の式をそれぞれ求めている。
自分は中学受験のやり方でやります(数学的な手法は公式解答参照で)。
花子の速さは分速1/3km、お父さんの速さは分速1/6kmなので、
1分あたり1/3-1/6=1/6kmずつ差が縮まる
お父さんが花子に追い抜かれてから再度追い抜かれるので、
2人の差が3kmになるのは、1度目に追い抜かれてから、
3÷1/6=18分後。よって、出発してから、15+18=33分後。t=33
こちらの方が楽だと思われる(^^;

(3)28分48秒  0.6%!
*太郎は48分で3周。
太郎の速さ・・3×3/48分=分速3/16km
太郎と花子は逆方向に出発するので、
1分あたり、3/16+1/3=25/48kmずつ差が縮まる
スタート時に差は3km(1周)なので、3÷25/48=144/25分
ここを出発点する、次も144/25分後に太郎と花子が出会う。
よって、5度目にすれ違うのは、144/25×5=144/5=28・4/5分=28分48秒

大問6(規則)

(1)400cm2  59.9%
*問題文をきちんと読んで情報を整理。
長方形を下につなぎ、右につなぐ。
つなぎ方は2通りあり、いずれかをとるかは小問による
(1)はすべて(イ)のつなぎ方。すなわち、重なりがない
したがって、縦・・5×2=10cm、横・・8×4=40cm。
10×40=400cm2

(2)91cm2  2.8%!
*今度はすべて(ア)のつなぎ方。すべての長方形に重なりができる
重なりに注意して、縦と横の長さを求める。
縦・・最初は5cm、2枚目以降は重なりを除外した4cmずつ増えていく考え方
5+4×(3-1)=13cm
もしくは、全体から重なりの合計をひく考え方で、
5×3-1×(3-1)=13cmでも求められる。(以下、こちらの手法)
横・・同様に、8×4-1×(4-1)=29cm
重なった部分の面積を求める。
重なっている列+重なっている行-2重に重なっているマス
重なっている列は、縦13cm2×(4-1)本=39cm2
重なっている行は、横29cm2×(3-1)本=58cm2
2重に重なっているマスは、1cm2×(3-1)×(4-1)=6cm2
よって、39+58-6=91cm2

別解としては、重なっていない部分を右下につめてしまう考え方もある。
例えば、重なっていない部分は田んぼ、重なっている部分は道。
土地のなかで道の面積を求めたい場合、田んぼを右下につめてしまえば、
田んぼの面積が長方形となり、土地の面積から田んぼの面積をひけば道の面積がでる。
重なっていない部分を右下につめると、その面積は(13-2)×(29-3)=286cm2
全体は、13×29=377cm2。よって、重なっている部分は377-286=91cm2

(3)公式解答参照  1.1%(部分正答含む-5.5%)
*整数の証明問題。
縦は(ア)で横は(イ)重なった部分は縦の計算のみ!
(つなぎ方(ア)に関しては、公式解答とは異なったやり方)
縦の枚数はmなので、横の枚数はm+4枚となる。
周の長さは、(縦の長さ+横の長さ)×2
ℓ=2{5m-1×(m-1)+8(m+4)}=2(12m+33)=6(4m+11)
mは整数だから4m+11は整数。6(4m+11)は6の倍数。
よって、ℓは6の倍数となる。

(4)15、22、23  0.0%!!!(部分正答含む-3.2%)
*つなぎ方の条件が指定されていないので、(ア)と(イ)を何回使ってもいいことになる。
(イ)はそのままだが、(ア)の2枚目以降は重なりから1cm使われる。いいかえれば、
縦は5からスタートして+4か+5を増やす
横は8からスタートして+7か+8を増やす
これらの合計で縦=横となるとき、その長さはいくつになるか、という問題。

縦より長い横を基準に調べる。
8・・作れない
8+7=15=5×3・・作れた。○
8+8=16・・4×4だが、はじめに5を使うので作れない
8+7+7=22=5×2+4×3・・○
8+8+7=23=5×3+4×2・・○
よって、15cm、22cm、23cm。

ちなみに続けると・・
8+8+8=24=5×4+4×1・・○
8+7+7+7=29=5×5+4×1・・○
8+8+7+7=30・・5×6・・○
8+8+8+7=31・・5×3+4×4・・○
8+8+8+8=32・・5×4+4×3・・○
8+7+7+7+7=36=5×4+4×4・・○

あれ・・全部出来る・・。
観察すると、5が増えて4が減っていますよね。
4と5は差が1なので、数を調節すれば和でほとんどの自然数を表せるのです。
5で折り返す図を作って・・
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・


5の倍数は5で作れるので削除
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・


4の倍数は4で作れるので削除。階段状にあらわれる。
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・


削除した4の倍数の下は、+5をすれば全てつくれるので削除。
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・
すると、階段状に数字が残り、最下段にある11が、
4と5をいくつか使っても和で表すことのできない数の最大数になる。
裏を返せば、11より大きい数は、4と5の和で表せる。
本問では、”最初に5を使う条件”があるので、11+5=16よりも大きければ
いくつでも数を表すことができるので、縦の長さがいくつでも正方形をつくることができる。
公立高校入試解説ページに戻る


note書いています(*'ω'*)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA