記述問題多し。規則性のラストは倍数との戦い。
速さは関数を使いませんでした(^^;
問題はコチラから→PDFファイル
大問1(小問集合)
(1) 97.0%
5-(-4)=9
(2) 87.8%
1/3ab3×9a2b
=3a3b4
(3) 88.6%
4√6÷√2=4√3
(4) 82.1%
2x+y=2×(ー1)+1/4=ー7/4
(5) 93.4%
(x-5)(x-7)=x2-12x+35
(6) 92.5%
対頂角が同じなので、残りの2角の和も等しい。
56+60=82+x x=34°
(7) 85.5%
比例定数a=xy →y=12/x
(8) 75.3%
3a+8b>4000
(9) 64.0%
yについて求める。
2y=-4y+5 → y=ー2x+5/2
答えは傾きだけなので、-2。
(10) 77.2%
解の公式を適用。
x=(-5±√13)/6
(11) 62.7%
5×6×1/2×8×1/3=40cm3
(12) 66.1%
標本が6個なので、メジアンは3番目と4番目の平均値。
(6+8)÷2=7点
(13) 67.2%
三平方の定理。
√{(7-1)2+(5-2)2}=√(36+9)=√45=3√5
(14) 73.1%
ただの面積比。
3×3:2×2=9:4
ここまでで配点は28点
大問2(小問複合2)
(1)公式解答参照 65.5%(部分正答含む-72.7%)
*作図。半直線BCをひき、Aを通り半直線と垂直な線をひく。
(2)4/15 67.6%
*確率。全体・・5×3=15通り。
和が4・・(1、3)(3、1)(2、2)
和が8・・(5、3)。Bは1~3なので(3、5)はない!
よって、4/15
(3)1/2 50.1%
*(yの増加量)/(xの増加量)=変化の割合
(9a-a)./(3-1)=2
8a=4、a=1/2
もしくは、y=ax2でp→qの変化の割合はa(p+q)=変化の割合なので、
(1+3)a=2、a=1/2
大問3(文章題)
(1)スチール缶1kgあたり8円、アルミ缶1kgあたり60円
83.4%(部分正答含む-95.3%)
*記述式。連立方程式を立てて解くだけ。
25x+10y=800
15x+5y=420
答えは、スチール缶1kgあたり・・円、アルミ缶1kgあたり・・円と答える。
(2)6cm 24.5%!(部分正答含む-46.7%)
*記述式。回転体の表面積から、底面の円の半径を求める。
回転体の底面積は円で2つ、側面積は円周×高さ。
よって、2πx2+2πx×2=2πx2+4πx=96π
2πx2+4πx=96π
x2+2x=48 ←両辺を÷2π
x2+2x-48=(x+8)(x-6)=0
xは長さなのでx>0、よって、x=6、6cm
大問4(平面図形)
(1)公式解答参照 19.5%!(部分正答含む-81.9%)
*証明問題。AB=AE(対辺)、∠ABQ=∠AEP(対角)。
∠BAQ=∠EAPの証明は、公式解答のように∠BAP=∠EAQから∠QAPをひく。
別解としては、AP//BQで∠BQA=∠PAQ(錯角)
QA//PEで∠PAQ=∠APE(錯角)
∠BQA=∠APEとなるので、残りの角も等しい→∠BAQ=∠EAPとも説明できる。
1辺両端角が等しいので、合同となる。
(2)1:(45-a/2)° 3.1%!!
2:4/3π-√3cm2 0.8%!!!
*1:OCに補助線をひけたかどうか。
AE//CDより、∠DAE=∠ADC(錯角)
△OCDで接線と円の半径は垂直だから、
∠OCD=90°、残りの角である∠DOC=180-(90+a)=90-a
この角度は弧BCの中心角である。円周角定理より、∠BAC=(90-a)÷2=45-a/2
2:△EOBは3つの角が60°になる(正三角形)
∠EOA=180-60=120°
半径2cm、中心角120°の扇型から、△AOEをひけばいい。
△AOEの高さは、正三角形EOBの高さ→三平方で√3
よって、2×2×π×120/360-2×√3×1/2=4/3π-√3
大問5(速さ)
(1)4km 71.5%
*54分で18km。
12分では18×12/54=4km
(2)1:y=2/15 11.5%!
2:33 0.4%!!(部分正答含むー10.8%)
*1:情報整理。
花子は54分で18km(6周)。
花子の速さは、18÷54=分速1/3km
1周は、18÷6=3km
15分後に父が抜かれた。→父が周回遅れとなる→父と花子の差が3kmになる。
父と花子は、1分あたり3km÷15分=1/5kmずつ差が縮まる。
花子の速さは分速1/3kmで、同じ方向を出発するから、
父の速さは1/3-1/5=2/15km(分速)
式で表すので、y=2/15x
2:ここも記述式。公式解答は、父と花子の式をそれぞれ求めている。
自分は中学受験のやり方でやります(数学的な手法は公式解答参照で)。
花子の速さは分速1/3km、お父さんの速さは分速1/6kmなので、
1分あたり1/3-1/6=1/6kmずつ差が縮まる。
お父さんが花子に追い抜かれてから再度追い抜かれるので、
2人の差が3kmになるのは、1度目に追い抜かれてから、
3÷1/6=18分後。よって、出発してから、15+18=33分後。t=33
こちらの方が楽だと思われる。
(3)28分48秒 0.6%!!!
*太郎は48分で3周。
太郎の速さ・・3×3/48分=分速3/16km
太郎と花子は逆方向に出発するので、
1分あたり、3/16+1/3=25/48kmずつ差が縮まる。
スタート時に差は3km(1周)なので、3÷25/48=144/25分
ここを出発点する、次も144/25分後に太郎と花子が出会う。
よって、5度目にすれ違うのは、144/25×5=144/5=28・4/5分=28分48秒
大問6(規則)
(1)400cm2 59.9%
*問題文をきちんと読んで情報を整理。
長方形を下につなぎ、右につなぐ。
つなぎ方は2通りあり、いずれかをとるかは小問による。
(1)はすべて(イ)のつなぎ方。すなわち、重なりがない。
したがって、縦・・5×2=10cm、横・・8×4=40cm。
10×40=400cm2
(2)91cm2 2.8%!!
*今度はすべて(ア)のつなぎ方。すべての長方形に重なりができる。
重なりに注意して、縦と横の長さを求める。
縦・・最初は5cm、2枚目以降は重なりを除外した4cmずつ増えていく考え方で
5+4×(3-1)=13cm
もしくは、全体から重なりの合計をひく考え方で、
5×3-1×(3-1)=13cmでも求められる。(以下、こちらの手法)
横・・同様に、8×4-1×(4-1)=29cm
重なった部分の面積を求める。
重なっている列+重なっている行-2重に重なっているマス
重なっている列は、縦13cm2×(4-1)本=39cm2
重なっている行は、横29cm2×(3-1)本=58cm2
2重に重なっているマスは、1cm2×(3-1)×(4-1)=6cm2
よって、39+58-6=91cm2
別解としては、重なっていない部分を右下につめてしまう考え方もある。
例えば、重なっていない部分は田んぼ、重なっている部分は道。
土地のなかで道の面積を求めたい場合、田んぼを右下につめてしまえば、
田んぼの面積が長方形となり、土地の面積から田んぼの面積をひけば道の面積がでる。
重なっていない部分を右下につめると、その面積は(13-2)×(29-3)=286cm2
全体は、13×29=377cm2。よって、重なっている部分は377-286=91cm2
(3)公式解答参照 1.1%!!(部分正答含む-5.5%)
*整数の証明問題。
縦は(ア)で横は(イ)。重なった部分は縦の計算のみ!
(つなぎ方(ア)に関しては、公式解答とは異なったやり方)
縦の枚数はmなので、横の枚数はm+4枚となる。
周の長さは、(縦の長さ+横の長さ)×2
ℓ=2{5m-1×(m-1)+8(m+4)}=2(12m+33)=6(4m+11)
mは整数だから4m+11は整数。6(4m+11)は6の倍数。
よって、ℓは6の倍数となる。
(4)15、22、23 0.0%!!!(部分正答含む-3.2%)
*つなぎ方の条件が指定されていないので、(ア)と(イ)を何回使ってもいいことになる。
(イ)はそのままだが、(ア)の2枚目以降は重なりから1cm使われる。いいかえれば、
縦は5からスタートして+4か+5を増やす
横は8からスタートして+7か+8を増やす
これらの合計で縦=横となるとき、その長さはいくつになるか、という問題。
縦より長い横を基準に調べる。
8・・作れない
8+7=15=5×3・・作れた。○
8+8=16・・4×4だが、はじめに5を使うので作れない。
8+7+7=22=5×2+4×3・・○
8+8+7=23=5×3+4×2・・○
よって、15cm、22cm、23cm。
ちなみに続けると・・
8+8+8=24=5×4+4×1・・○
8+7+7+7=29=5×5+4×1・・○
8+8+7+7=30・・5×6・・○
8+8+8+7=31・・5×3+4×4・・○
8+8+8+8=32・・5×4+4×3・・○
8+7+7+7+7=36=5×4+4×4・・○
あれ・・全部出来る・・。
観察すると、5が増えて4が減っていますよね。
4と5は差が1なので、数を調節すれば和でほとんどの自然数を表せるのです。
5で折り返す図を作って・・
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・
↓
5の倍数は5で作れるので削除
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・
↓
4の倍数は4で作れるので削除。階段状にあらわれる。
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・
↓
削除した4の倍数の下は、+5をすれば全てつくれるので削除。
01 02 03 04 05
06 07 08 09 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25・・
すると、階段状に数字が残り、最下段にある11が、
4と5をいくつか使っても和で表すことのできない数の最大数になる。
裏を返せば、11より大きい数は、4と5の和で表せる。
本問では、”最初に5を使う条件”があるので、11+5=16よりも大きければ
いくつでも数を表すことができるので、縦の長さがいくつでも正方形をつくることができる。
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